Verde ' operador s operador diferencial elíptico

Question

Vamos $$P:\Gamma(E)\rightarrow\Gamma(F)$$ ser un diferencial parcial elíptica operador, con índice cero y cerrado de la imagen de codimension 1, entre los espacios de $\Gamma(E)$ $\Gamma(F)$ de secciones suaves de vector de paquetes de $E\rightarrow M$ $F\rightarrow M$ en un colector de Riemann $(M,g)$ sin límite.

Pregunta: ¿Cuál es la elíptica del operador asociado Verde del operador? ¿Qué significa la noción de un Verde del operador de un operador elíptico consulte o decir?

Petición: por favor alguien Puede señalar una buena referencia sobre el Verde de los operadores de diferencial parcial elíptica operadores.

Answer 1

Aquí es un conjunto de hasta analgous a la situación de operador de Dirac, que en realidad no sé muy bien si se aplica a su caso, porque yo no encuentro no lineal operatos antes. Vamos $$P:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(F)$$ ser una elíptica diferencial operador. A continuación, en particular, $P$ es Fredholm y ha finito dimensionales kernel y cokernel. Por lo que podemos descomponer una sección de $\phi \in \Gamma(E)$ por $$\phi=\phi_1+\phi_2, \phi_1\en \ker (P), \pi(\phi)=\phi_2$$ y lo mismo para $\phi\in \Gamma(F)$ podemos definir $\pi'$ a ser el mapa de proyección.

Ahora los Verdes asociadas del operador $G:\Gamma(F)\rightarrow \Gamma(E)$ está definido por $$G\circ P=Id-\pi, P\circ G=Id-\pi'$$

Creo que una manera de pensar acerca de esto es a través de la descomposición de Hodge teorema: Para suficientemente agradable elíptica operadores (como operadores de Dirac, la generalización de la Laplaciano operadores, etc) a través de un colector compacto debemos tener $$\Gamma(E)=\ker(P)\oplus Im(P^{*})$$ donde $P^{*}$ es entendido como el doble de $P$ en algún sentido. Entonces se puede pensar en el Verde del operador como una cierta clase de una inversa de a $P$ por la omisión de los elementos del núcleo de $P^{*}$. Para referencia, se puede comprobar Melrose las notas sobre el índice de teorema, o la Mathoverflow enlace.