Cómo de cerca podemos estimar el $\sum_{i=0}^n \sqrt{i}$

Question

Mirando integral y delimitación el error?

Answer 1

Este fue un desafío interesante para probar y con una estimación de esta suma en un modo elemental.

El presupuesto que me dieron fue

$$1 + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n} \sim \frac{2}{3}n^{3/2} + \frac{\sqrt{n}}{2} + C$$

para algunas constantes $C$, lo que parece estar cerca de $-0.207$ (que supongo que será $\zeta(-1/2)$).

(Por $a_{n} \sim b_{n}$ me refiero a $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n}-b_{n}) = 0$)

Creo que aquí es completamente primaria prueba de ese hecho:

Considerar en primer lugar el de la desigualdad de la $x > 0$$k > 0$.

$$ \sqrt{x} \le \frac{x}{2\sqrt{k}} + \frac{\sqrt{k}}{2}$$

Esto se deduce fácilmente por la media aritmética $\ge$ de la media geométrica de la desigualdad.

Así tenemos que

$$\int_{k}^{k+1} \sqrt{x} \ dx \le \int_{k}^{k+1} (\frac{x}{2\sqrt{k}} + \frac{\sqrt{k}}{2}) \ dx$$

$$ = \frac{(k+1)^2 - k^2}{4\sqrt{k}} + \frac{\sqrt{k}}{2} = \sqrt{k} + \frac{1}{4\sqrt{k}}$$

Por lo tanto $$\sum_{k=1}^{n-1} \int_{k}^{k+1} \sqrt{x} \ dx \le \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{k} + \frac{1}{4\sqrt{k}})$$

es decir,

$$\int_{1}^{n} \sqrt{x} \ dx \le \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{k} + \frac{1}{4\sqrt{k}})$$

y así

$$ \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3} \le \sum_{k=1}^{n-1} (\sqrt{k} + \frac{1}{4\sqrt{k}})$$

Ahora tenemos la desigualdad

$$\frac{1}{2\sqrt{k}} < \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k-1}} = \sqrt{k} -\sqrt{k-1}$$

Y así, tenemos que

$$ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{4\sqrt{k}} < \frac{\sqrt{n-1}}{2}$$

Por lo tanto,

$$ \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3} \le \frac{\sqrt{n-1}}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{k} $$

Así que si $$S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$$ tenemos que

$$S_{n} \ge \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3} + \sqrt{n} - \frac{\sqrt{n-1}}{2} \ge \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{n}}{2}$$

Ahora vamos a $$G_{n} = S_{n} - \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{\sqrt{n}}{2}$$

Tenemos que $$G_{n} \ge -\frac{2}{3}$$

Podemos demostrar fácilmente que (usando tedioso pero no demasiado complicado álgebra^*) $$G_{n+1} < G_{n}$$ and so $G_{n}$ es una secuencia convergente, como está delimitada por debajo y monótonamente decreciente.

Por lo tanto existe una constante $C$ (el límite de $G_{n}$) tales que

$$1 + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n} \sim \frac{2}{3}n^{3/2} + \frac{\sqrt{n}}{2} + C$$

---

^* En aras de la exhaustividad, nos muestran que la $G_{n+1} < G_{n}$.

Considere la posibilidad de $$6(G_{n}-G_{n+1}) = 4(n+1)\sqrt{n+1} + 3\sqrt{n+1} - 6\sqrt{n+1} - 4n\sqrt{n} - 3\sqrt{n}$$ $$ = \sqrt{n+1} + 4n(\sqrt{n+1} -\sqrt{n}) - 3\sqrt{n}$$

Multiplicando por $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ no cambia el signo, así que nos fijamos en

$$ \sqrt{n+1}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) + 4n - 3\sqrt{n}(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$$ $$ = 2n+1 - 2\sqrt{n^2 + n}$$

Ahora $$ (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 > 4n^2 + 4n = (2\sqrt{n^2+n}) ^2$$

Por lo tanto

$$ 2n+1 > 2\sqrt{n^2+n}$$

y así

$$G_{n} > G_{n+1}$$

Answer 2

En caso de que se preguntan, como yo, Morón de la excelente prueba que se adapta fácilmente a mostrar que

$$1 + \sqrt[3]{2} + \dots + \sqrt[3]{n} \sim \frac{3}{4}n^{4/3} + \frac{\sqrt[3]{n}}{2} + C,$$

para algunas constantes $C.$, En este caso, $C = \zeta(-1/3) \approx -0.277343.$

Donde, como antes, $a_n \sim b_n$ $\lim_{n \rightarrow \infty} (a_{n}-b_{n}) = 0.$

Similar a la prueba anterior, utilizamos el AM-GM de la desigualdad para mostrar

$$\sqrt[3]{x} \le \frac{x}{3k^{2/3}} + \frac{2k^{1/3}}{3}.$$

Suma de $k=1$ $n-1$e integrar llegamos a $$ \frac{3}{4}n^{4/3} - \frac{3}{4} \le \sum_{k=1}^{n-1}\sqrt[3]{n} + \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2/3}}, \qquad n>1.$$ Y así, $$\sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{n} \ge \frac{3}{4}n^{4/3} + n^{1/3} - \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2/3}}, \qquad n>1.$$

Usando $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2/3}} \le 1+ \int_1^n x^{-2/3} dx, \qquad n>1,$ obtenemos

$$\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2/3}} \le \frac{1}{2}n^{1/3} - \frac{1}{3}.$$

Y por lo tanto $$\sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{n} \ge \frac{3}{4}n^{4/3} + \frac{1}{2}n^{1/3} - \frac{5}{12}, \qquad n>1.$$

Como en el argumento anterior, el conjunto de

$$G_n = \sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{n} - \frac{3}{4}n^{4/3} - \frac{1}{2}n^{1/3}.$$

A continuación, $G_n \ge -5/12,$ y podemos mostrar a $G_n – G_{n+1} > 0$ mostrando que $$\frac{(n+1)^{4/3} – n^{4/3}}{(n+1)^{1/3} + n^{1/3}} > \frac{2}{3}.$$

Así que, como antes, $G_n$ es convergente, ya que se limita a continuación y monótonamente decreciente.

Sospecho que este argumento también se adapta fácilmente para el caso más general $\sum_{k=1}^{n}\sqrt[r]{n},$ $r \in \mathbb{N},$ donde estoy adivinando, nos vamos a encontrar $$1 + \sqrt[r]{2} + \dots + \sqrt[r]{n} \sim \frac{r}{r+1}n^{(r+1)/r} + \frac{\sqrt[r]{n}}{2} + C,$$ donde $C = \zeta(-1/r).$ sin Embargo, te confieso no haber revisado los pormenores de este generalización.

Answer 3

El "sofisticado" manera de hacer esto es usando el de Euler-Maclaurin fórmula - busca bajo el título "Asintótico de expansión de sumas de dinero". Usted querrá comenzar su suma en 1 y no en 0, para evitar la división por cero.

Answer 4

El enfoque estándar debe ser a lo largo de las líneas de $\sum_{i\le n}\sqrt i=\sqrt n\sum_{i\le n}\sqrt{\frac{i}{n}}$, lo $\frac1{n\sqrt n}\sum_{i\le n}\sqrt i=\sum_{i\le n}\sqrt{\frac{i}{n}}\frac1n\to\int_0^1\sqrt x{} dx=\frac23$ o $\sum_{i\le n}\sqrt i\sim\frac23 n\sqrt n$. ¿Qué técnicas sabes para estimar el error entre las integrales y sus sumas de Riemann?

Answer 5

Ya que la raíz cuadrada es una función monótonamente creciente, que suma entre la integral de la función sqrt(i) de 0 a n y la integral de la función sqrt(i) de 1 a n-1.