¿Deben ponderarse los eigenkets en $|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle$ ?

Question

Página 37 del libro de Dirac Los principios de la mecánica cuántica , afirma

La condición para los estados propios de $\xi$ para formar un conjunto completo debe formularse así, que cualquier ket $|P\rangle$ puede expresarse como una integral más una suma de eigenkets de $\xi$ es decir

$$|P\rangle = \int |\xi'c\rangle\; d\xi' + \sum\limits_{r}|\xi^rd\rangle$$

donde el $|\xi'c\rangle$ , $|\xi^rd\rangle$ son todos los eigenkets de $\xi$ las etiquetas c y d se insertan para distinguirlas cuando los valores propios $\xi'$ y $\xi^r$ son iguales, y donde la integral se toma sobre todo el rango de valores propios y la suma se toma sobre cualquier selección de ellos.

Me parece incoherente que los eigenkets bajo la integral estén ponderados por lo que parece ser un eigenvalor diferencial $d\xi'$ pero todos los eigenkets bajo la suma están ponderados por el valor 1. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Si los eigenkets se definen hasta constantes arbitrarias, es posible escribir la suma sin ningún coeficiente.

Answer 2

La situación puede describirse con mayor precisión mediante la resolución de la identidad para un operador autoadjunto. Así, dejemos que $X=X^{\ast }$ (Dirac's $% \xi $ ) sea un operador autoadjunto que actúa en un espacio de Hilbert separable $% \mathcal{H}$ con espectro continuo singular vacío. Entonces \begin{equation*} X=\int_{\Lambda }\lambda E(d\lambda ), \end{equation*} donde $\{E(..)\}$ es la resolución de la identidad para $X$ y $\Lambda \subset \mathbb{R}$ su espectro. En particular $E(\mathbb{R})=I$ , el operador de identidad. Podemos descomponer en espectro discreto y continuo \begin{equation*} X=\sum_{n}\sum_{m}\lambda _{n}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|+\int \lambda E_{cont}(d\lambda ), \end{equation*} donde el $\varphi _{nm}$ son los estados propios discretos ortonormales.El subíndice $m$ etiqueta la posible degeneración de los estados discretos (piense en momento angular en un problema con un potencial esférico como el de Coulomb de Coulomb). Con el espectro continuo no se pueden asociar eigenestados cuadrados integrables pero en muchos casos existe una expansión de la función propia \begin{equation*} E_{cont}(d\lambda )=|\psi _{ls}><\psi _{ls}|d\lambda . \end{equation*} Pensemos en las funciones propias de la onda plana del operador de momento \begin{equation*} p=\int dkk|\psi _{k}><\psi _{k}|,\;\psi _{k}(x)=<x|\psi _{k}>=(2\pi )^{-1/2}\exp [ikx], \end{equation*} donde el $\psi _{k}$ son $\delta $ -función normalizada, \begin{equation*} \int dx\psi _{k}(x)\overline{\psi _{l}(x)}=\delta (k-l). \end{equation*} Obsérvese que puede haber valores propios discretos incrustados en el continuo continuo. En casos más complicados también puede haber degeneraciones aquí. Consideremos ahora la $|P>$ . \begin{eqnarray*} |P &>&=\int_{\Lambda }E(d\lambda )|P>=\sum_{n}\sum_{m}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|P>+\sum_{s}\int_{\Lambda ^{cont}}d\lambda |\psi _{\lambda s}><\psi _{\lambda s}|P> \\ &\leftrightarrow &\sum_{r}|\xi ^{r}d>+\int d\xi ^{\prime }|\xi ^{\prime }c>. \end{eqnarray*} Tenga en cuenta que el $\xi ^{r}d$ $\leftrightarrow <\varphi _{nm}|P>$ están en en general no están normalizados a la unidad.

De hecho, el enfoque de Dirac, aunque intuitivamente atractivo, es algo impreciso.