La convergencia débil implica una convergencia fuerte

Question

Supongamos que la secuencia $(A_n)$ de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert $H$ converge débilmente a un operador $A$ . Supongamos también que $\|A_nx\|\to \|Ax\|$ para todos $x\in H$ . Demostrar que $(A_n)$ converge fuertemente a $A$ es decir $A_n x\to Ax$ para todos $x\in H$ .

Para ser honesto, no tengo mucha idea de esto. Tenemos

$$<A_n,x> \to <A,x> \leq ||A_nx-Ax||xx||$$

Estoy pensando que es probable que sea un truco con la desigualdad (y estoy bastante seguro de que lo anterior no es correcto). Me parece obvio pero sin embargo se me escapa. Creo que mi lucha es averiguar cómo es ese producto interno para la convergencia débil de un operador.

Answer 1

$||A_nx-Ax||^2=||A_nx||^2-<A_nx,Ax>-<Ax,A_nx>+||Ax||^2 \to ||Ax||^2-||Ax||^2-||Ax||^2+||Ax||^2=0$ en segundo y tercer término, utilicé $A_n$ convergencia débil $A$ .