Estaba viendo la serie de conferencias STAT 110 de Harvard en Youtube. Según conferencia 10 , dado $$T=X+Y$$ Tengo la siguiente pregunta:
¿Por qué es $$P(T=t) = \sum P(T=t|X=x)\ P(X=x)$$ y no $$\sum P(T=t|X=x)\ P(X=x)+ \sum P(T=t|Y=y)\ P(Y=y)?$$
Respuestas
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quasi
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236
Es de suponer que se refería a $T=X+Y$ no $Y=X+Y$ .
Los casos para $X$ son exhaustivos, ya que $X$ debe tomar algunos valor.
Análogamente, los casos de $Y$ son exhaustivos.
Por lo tanto, si se encasilla por valores de $X$ , se obtiene $$P(T=t) = \sum P(T=t|X=x)\,P(X=x)$$ y si lo hace por valores de $Y$ , se obtiene $$P(T=t) = \sum P(T=t|Y=y)\,P(Y=y)$$ pero si se suman ambos, se obtendría el doble de la respuesta correcta.
Karn Watcharasupat
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314
Tenga en cuenta que $T=X+Y$ así que cuando $T=t,X=x$ tienes $Y=t-x$ En otras palabras, \begin {align} P(T=t)& = \sum_ {x} \left [{P(T=t|X=x) \cdot P(X=x)} \right ] \\ &= \sum_ {x} \left [{P(X+Y=t|X=x) \cdot P(X=x)} \right ] \\ &= \sum_ {x} \left [{P(Y=t-x|X=x) \cdot P(X=x)} \right ] \end {align} lo que significa que ya has tomado sin saberlo $Y$ ¡en cuenta!
pete
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1
Obsérvese que para las variables aleatorias discretas $X$ y $Y$ : $$\{T=t\}=\bigcup_x\{T=t\wedge X=x\}=\bigcup_y\{T=t\wedge Y=y\}$$ donde $x$ abarca todos los valores que se toman por $X$ y $y$ sobre todos los valores que se toman por $Y$ .
Entonces: $$\sum_x P(T=t\mid X=x)P(X=x)+\sum_y P(T=t\mid Y=y)P(Y=y)=$$$$\sum_x P(T=t \wedge X=x)+ \sum_y P(T=t \wedge Y=y)=P(T=t)+P(T=t)=2P(T=t)$$
user275313
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103
La respuesta de @quasi es una excelente respuesta rigurosa, pero si quieres una forma más intuitiva de verlo:
Supongamos que quieres llegar a una esquina de la calle que está al noreste de tu ubicación actual. Puedes ir una manzana al norte y otra al este o ir una cuadra al este y luego una cuadra al norte, pero si haces las dos te pasarás de tu objetivo. Es decir, puedes utilizar cualquiera de las dos sumas y ser válido, pero no puedes hacer las dos (es decir, sumarlas).
