Bellard exótico fórmula para $\pi$

Question

En su página web, Fabrice Bellard menciona una exótica fórmula para $\pi$ siguiente $$\pi = \frac{1}{740025}\left(\sum_{n = 1}^{\infty}\dfrac{3P(n)}{{\displaystyle \binom{7n}{2n}2^{n - 1}}} - 20379280\right)\tag{1}$$ donde \begin{align} P(n) = &-885673181n^{5} + 3125347237n^{4} -2942969225n^{3}\notag\\ &+1031962795n^{2} - 196882274n + 10996648\notag \end{align} y además, añade que esto se obtuvo al analizar algunas relaciones numéricas con PSLQ Algoritmo, el cual es un tipo de entero relación algoritmo.

Mi punto aquí no es para pedir una prueba de la fórmula $(1)$ porque se basa en un algoritmo de computadora, sino más bien para entender cómo podemos estar tan seguro de la precisión de las fórmulas obtenidas a través de estos algoritmos a menos que tengamos alguna otra prueba basada en argumentos analíticos. Fundamentalmente un algoritmo de computadora no puede funcionar en un número real. Lo más que podemos esperar es de las operaciones sobre los números algebraicos. Para lidiar con diferentes números reales no se necesita una "aritmética de precisión arbitraria", sino "aritmética de precisión infinita" que es algo imposible de lograr a través de computadoras.

¿Cómo se garantiza una computadora genera la fórmula como $(1)$ que implica trascendental números ($\pi$) para ser verdad?

Actualización: Sólo para destacar el equipo base de los cálculos realizados para algebraica de los números me remito a mi respuesta con respecto a un Ramanujan con la fórmula de la $\pi$.

Answer 1

En algún momento usted necesita decirle a la computadora qué $\pi$ es. Una opción es dar una representación integral: por ejemplo, usted podría decirle a la computadora que

$$\frac{\pi}{4} = \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx.$$

A partir de aquí, el equipo puede tratar de probar que las declaraciones acerca de $\pi$ mediante la manipulación de la integral de la derecha. Por ejemplo, $\sqrt{1 - x^2}$ tiene un poder de expansión de la serie

$$\sqrt{1 - x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{1}{2} \choose n } (-1)^n x^{2n}$$

y la integración de este poder de expansión de la serie de término por término da

$$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{2} \choose n} \frac{(-1)^n}{2n+1}.$$

A ver, que no era tan difícil! Incluso un equipo que podría haber hecho. Los equipos son en realidad bastante bueno en la manipulación de expresiones como estas formalmente, y se puede demostrar rigurosamente muchas cosas acerca de ellos; véase, por ejemplo, Petkovsek, Wilf, y Zeilberger del A=B.

No hay problemas que impliquen la precisión infinita porque el equipo no se encuentra en cualquier punto de intentar evaluar el valor numérico de ambos lados ni nada de eso; al contrario, es a partir de un hecho que decirle acerca de $\pi$ y formalmente deducir otros hechos acerca de $\pi$ a partir de ella. (Quiero decir, yo no sé cómo calcular $\pi$ a de precisión infinita, pero eso nunca me detuvo de probar los hechos acerca de la $\pi$, y yo creo que nada que yo pueda hacer, un equipo que, en principio, podría hacer).

Edit: Vale, lo he leído un poco acerca de la PSLQ algoritmo. No demuestra nada: como lo que puedo decir, lo que realmente hace es dar de una manera muy inteligente para adivinar entero de las relaciones entre los números reales que usted proporciona con un número muy grande de sus dígitos. Una vez que usted tiene una conjetura, puede comprobar como una alta precisión como se desee mediante el cálculo de más dígitos. Eso no es una prueba, pero es muy bueno en la evidencia, y la más dígitos de calcular la mejor evidencia es. A continuación, puede ver una prueba.

Answer 2

(Demasiado largo para un comentario.)

De hecho, para la orden de $m=7$,,

$$740025\pi+20379280 = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{3P_1(n)}{{\displaystyle \tbinom{7n}{2n}2^{n-1}}}\tag1$$

$$740025\pi+19755520 = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{P_2(n)}{{\displaystyle \tbinom{7n}{2n}2^{n-1}}}\tag2$$

$$740025\pi+18776800 = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{P_3(n)}{{\displaystyle \tbinom{7n}{2n}2^{n-1}}}\tag3$$

donde,

$$\small{P_1(n) = 10996648 - 196882274 n + 1031962795 n^2 - 2942969225 n^3 + 3125347237 n^4 - 885673181 n^5}$$

$$\small{P_2(n) = 20202864 - 361815268 n + 1669902852 n^2 - 4185508285 n^3 + 1811392311 n^4 + 3820998353 n^5 - 2124144507 n^6}$$

$$\small{P_3(n) = 11290944 - 204904056 n + 859781414 n^2 - 2018500197 n^3 + 403088421 n^4 + 2078563631 n^5 + 1880241301 n^6 - 1808396978 n^7}$$

y así sucesivamente (aparentemente).

En este trabajo, los autores se refieren pi fórmulas de esta forma a algunos integral. Sin embargo, no parece ser explorado que pueden existir múltiples $P(n)$ de los diferentes grados que puede ser utilizado como un numerador.