Describir el finito de orden entero de matrices complejas de campo

Question

Me pegó mucho en esta pregunta!

Necesito describir finito de orden entero de matrices sin 1 autovalores $\mathbb C$. Necesito descripción en términos de clases de matrices equivalentes(que existen en la complejidad de la matriz C tal que $C^{-1}AC = B$)

Llegué a este resultado. Sea a la matriz de enteros de orden $m$. Primero de todo, Una puede ser diagonalized así es $diag(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ en alguna base. Si $\lambda$ es su autovalor, a continuación,$\lambda^{m} = 1$.

El polinomio mínimo $p$ divide $x^m - 1$ y pertenece a $\mathbb Z[x]$ porque $A \in Mat(\mathbb Z)$. En realidad $p(\lambda_i) = 0$. Por lo que este debe dar algunas limitaciones en $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$. Necesito conseguir todos los casos posibles para $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$. Mi hipótesis es "$(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ se divide en grupos, donde cada grupo es todas las raíces de $\frac{x^k - 1}{x-1}$".

Edición 1. Yo estaba muy impreciso con la formulación de hipótesis. Realmente quiero decir que $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ se divide en grupos, donde cada grupo es todas las raíces de algunos polinomio irreducible en la descomposición de $\frac{x^k - 1}{x-1}$

Edición 2. Lo siento si he metido, voy a tratar de dar mucho más legible descripción de mi pregunta. Estoy haciendo una investigación y encontró que para algunos del grupo de todos los automorpmism están en correspondencia 1-1 con las clases de similar entero matrices de orden finito sin 1-autovalores. Así que lo que quiero es que de alguna manera enumerar esta clases. La que divide el problema en dos partes:

1) Demostrar que el conjunto de clases(que he descrito anteriormente) es finito

2) Dar una constructivo para enumerar esta clases

La esperanza ahora mi pregunta es más legible. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$A,B$ no son equivalentes matrices pero similar a la de las matrices. Es difícil entender lo que estás buscando (se trata de una tarea ?); el entero de las matrices con finito de orden se entiende bien (gracias a Minkowski, Taussky y Todd). cf. por ejemplo

https://pdfs.semanticscholar.org/d72f/50b01413336e0c2b4f01859b5c39e01d7ad1.pdf

Por supuesto, aquí podemos tener $1\in spectrum(A)$; usted tiene que trabajar un poco; espero que esto no va a poner su vida en juego.

Deje $\alpha_n=\{m;$ hay$A\in M_n(\mathbb{Z}) \;s.t.\;A^m=I_n\}$$s_n=\max(\alpha_n)$. Algunos resultados:

1. Deje $m=p_1^{e_1}\cdots p_t^{e_t}$ ser la descomposición de la entero $m$ sobre los factores primos $p_1<\cdots<p_t$. A continuación, $m\in\alpha_n$ fib

cuando $p_1^{e_1}=2$: $\sum_i(p_i-1)p_i^{e_i-1}-1\leq n$

de otra manera: $\sum_i(p_i-1)p_i^{e_i-1}\leq n$

2. $\alpha_{2k+1}=\alpha_{2k}$.

3. $\alpha_2=\alpha_3=\{2,3,4,6\}$, $\alpha_4=\alpha_5=\{2,3,4,5,6,8,10,12\}$.

4. $s_{22}=2520$. Tenga en cuenta que $2520\in\alpha_{22}$ porque $2520=2^3.5.7.9$$2^2+4+6+8=22$.