Integrar a $(ax)^{-x}$

Question

Necesito encontrar el asymptotics de la siguiente expresión como $r\to\infty$: $$\int_{r^2+r}^\infty e^{-r^2}\Big(\frac{er^2}{x}\Big)^x \,dx.$$

Claramente, $$\int_{3r^2}^\infty \Big(\frac{er^2}{x}\Big)^x \,dx \to 0,$$ de modo que el principal aporte viene de la parte cerca del límite inferior. La estimación de $$\int_{r^2+r}^{r^2+Cr} \Big(\frac{er^2}{x}\Big)^x\, dx$$ los rendimientos de un límite inferior de fin de $Cr$.

Mi conjetura es que la integral anterior se comporta como $r\log r$ pero no tengo idea de cómo mostrar este.

Answer 1

La correcta asymptotics, para $r \to \infty, $ es $$ \exp{(-r^2)} \int_{r^2}^\infty \big( e\,r^2/x\big)^x\,dx \sim \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,r + \frac{1}{3}. $$ Nota: el límite inferior ha sido el cambio de $r^2+r$ $r^2,$que es trivial desde $r^2$ domina $r.$ Para una mayor comodidad en la prueba, vamos a $p=r^2.$ Nosotros vamos a hacer una serie de integral de transformaciones para obtener la integral en una "buena" forma.

$$I(p):= e^{-p} \int_{p}^\infty \big( e\,p/x\big)^x\,dx = e^{-p} \int_{0}^{\large{e^p}} \frac{du}{1+W(-a\,\log{u} )}\, , \,a=1/(e\,p)$$ donde la sustitución de $u=(a\,x)^{-x}$ ha sido tomada y la $W$ es la función W de Lambert en el correspondiente (real) de la rama. Hacer la sustitución $t = \log{u}$ y, a continuación, para encontrar la expresión exacta

$$I(p)= p\,e^{-p} \int_{-\infty}^{1} \frac{e^{p\,t}\,dt}{1+W(-t/e )} \sim p\,e^{-p} \int_{0}^{1} \frac{e^{p\,t}\,dt}{1+W(-t/e )}.$$ The approximation is valid because $\exp{(p\,t)}$ is exponentially small for negative $t.$ Because $\exp{(p\,t)}$ rapidly grows it is most important to know how the integrand behaves at the endpoint $t=1.$ Ahora la función W de Lambert tiene una raíz cuadrada de expansión como t va a 1 de los pequeños números positivos, $$W(-t/e)=-1+\sqrt{2(1-t)} - 2/3(1-t)+... $$ por lo tanto, $$I(p) \sim p\,e^{-p}\int_{0}^{1} e^{p\,t}\Big( \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{2(1-t)}} \Big) dt = p\,e^{-p}\Big(\frac{e^p-1}{3p}+ e^p\sqrt{\frac{\pi}{2}}fer{(\sqrt{p})} \Big).$$ La función de error va a 1 con exponencialmente pequeño términos como un resto, y el primer término de la última expresión tiene un exponencialmente pequeña plazo, todos los cuales serán descartados. Por lo tanto $$ I(p) \sim \sqrt{\frac{\pi \, p}{2}} + \frac{1}{3}. $$

Términos de la orden de $p^{-1/2}, p^{-3/2},...$ se puede encontrar mediante el uso de más términos en la rama de corte de expansión de la W. Lambert

Answer 2

Deje $x = r^2 t, f(t) = r^2 t (1 - \ln t)$. La integral de $e^{f(t)}$ está determinado por la máxima en $t = 1$, pero tenemos que restar la contribución del intervalo de $[1, 1 + 1/r]$: $$f(t) = r^2 - \frac {r^2} 2 (t - 1)^2 + O((t - 1)^3), \\ e^{-r^2} \int_{r^2 + r}^\infty \left( \frac {r^2} x \right)^x dx = e^{-r^2} r^2 \int_{1 + 1/r}^\infty e^{f(t)} dt \sim \\ r^2 \int_{1 + 1/r}^\infty e^{-r^2 (t - 1)^2/2} dt = r \sqrt \frac \pi 2 \operatorname{erfc} \frac 1 {\sqrt 2}.$$