Si $(X,Y) \sim \mathcal N(0,\Sigma)$, se $Z = Y - \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}X$ $X$ independiente?

Question

Dado que el $X$ $Y$ son conjuntamente normal, significa que el $Z = Y - \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}X$ $X$ son independientes, porque la correlación entre el $Z$ $X$ es cero?

Sé que la correlación cero implica la independencia de conjuntamente normal RVs, pero no es claro para mí que $Z$ $X$ son conjuntamente normal (por cierto, ¿cómo podemos saber si una determinada transformación de la normal de vehículos recreativos conjuntamente normal?) y no parece muy ilógico que son independientes ya que uno es una función de la otra.

Answer 1

Deje que el azar vector $\mathbf{X} \sim N_{p}(\mathbf{\mu},\mathbf{\Sigma})$. Si dividimos $\mathbf{X}$ $\left(\begin{array}{c} \mathbf{X^{(1)}}\\ \mathbf{X^{(2)}} \end{array}\right)$ y no tome un singular transformación lineal de los componentes de $\mathbf{X}$ \begin{eqnarray*} \mathbf{Y^{(1)}} &=& \mathbf{X^{(1)} + M X^{(2)}}\\ \mathbf{Y^{(2)}} &=& \mathbf{X^{(2)}} \end{eqnarray*} donde la matriz $\mathbf{M}$ elegido es tal que la sub-vectores $\mathbf{Y^{(1)}}$ $\mathbf{Y^{(2)}}$ no están correlacionados. Es decir, Elija $\mathbf{M}$ de manera tal que, \begin{equation*} \mathbb{E}\mathbf{\left(Y^{(1)}-\mathbb{E}\mathbf{Y^{(1)}}\right)\left(Y^{(2)}-\mathbb{E}\mathbf{Y^{(2)}}\right)^{T}} = \mathbf{O} \end{ecuación*} Sustituyendo $\mathbf{Y^{(1)}}$ $\mathbf{Y^{(2)}}$ en la ecuación anterior y resolviendo $\mathbf{M},$ obtenemos $\mathbf{M=-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}.$ En el caso bivariante, vamos \begin{equation*} \mathbf{X} = \left(\begin{array}{c} \mathbf{X_{1}}\\ \mathbf{X_{2}} \end{array}\right) \end{ecuación*} \begin{equation*} \mathbf{\Sigma}= \left(\begin{array}{cc} \Sigma_{11} & \Sigma_{12}\\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \sigma_{1}^{2} & \sigma_{12}\\ \sigma_{21} & \sigma_{2}^{2}\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \sigma_{1}^{2} & \rho\sigma_{1}\sigma_{2}\\ \rho\sigma_{1}\sigma_{2} & \sigma_{2}^{2}\\ \end{array}\right) \end{ecuación*} A partir de la cual tomamos nota de que, $\Sigma_{12}=\rho\sigma_{1}\sigma_{2}$, $\Sigma_{22}^{-1}=\dfrac{1}{\sigma_{2}^{2}}$ y $-\mathbf{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}} = -\rho\dfrac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} $. Por lo tanto, las variables aleatorias definidas por

\begin{eqnarray*} Y_{1} &=& X_{1} - \mathbf{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}X_{2} = X_{1}-\rho\dfrac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}X_{2}\\ Y_{2} &=& X_{2}. \end{eqnarray*} son independientes. Desde entonces, \begin{equation*} \mathbf{Y} = \left(\begin{array}{c} \mathbf{Y^{(1)}}\\ \mathbf{Y^{(2)}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} \mathbf{I_{11}} & -\mathbf{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\\ \mathbf{O} & \mathbf{I_{22}} \end{array}\right)\mathbf{X} \end{ecuación*} no ser una singular transformación de $\mathbf{X}$, el vector aleatorio $\mathbf{Y}$ tiene una distribución normal Multivariante con la varianza-covarianza de la matriz $\left(\begin{array}{ll} \mathbf{\Sigma_{11}}-\mathbf{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}} & \mathbf{O}\\ \mathbf{O} & \mathbf{\Sigma_{22}} \end{array}\right).$

Answer 2

Sugerencia:

Uno puede ver que $Z$, siendo una combinación lineal de forma conjunta normal de las variables de $X$$Y$, es en sí mismo univariante normal. Y dos combinaciones lineales (es decir, $Z$$X$) conjunto de variables normales son en sí mismos de forma conjunta normal. Así que una manera posible es encontrar la articulación momento de generación de la función de $(Z,X)$ a ver si $X$ $Z$ son independientes o no. La articulación de MGF $(Z,X)$ está dado por

$$M(t_1,t_2)=E(\exp(t_1Z+t_2X))=E\left[\exp\left(\left(t_2-\rho t_1\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\right)X+t_1Y\right)\right]$$

A partir de la expresión de la articulación de MGF $(X,Y)$, que el pasado expectativa de da $$M(t_1,t_2)=\exp\left[\frac{1}{2}\left(\sigma_x^2\left(t_2-t_1\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\right)^2+\sigma_y^2t_1^2+2\rho\sigma_x\sigma_y\left(t_2-t_1\rho\frac{\sigma_y}{\sigma_x}\right)t_1\right)\right]$$

Simplificar que el exponente en términos de un bivariante normal de la MGF y, a continuación, tratar de concluir, a partir de la correlación de si $Z$ $X$ son independientes o no. Usted ya sabe que la correlación cero es una condición necesaria y suficiente de la independencia conjuntamente variables normales.