Buscando una mejor manera de resolver este sistema de ecuaciones.....

Question

La pregunta :

Resolver de verdad $x, y$ :
$$xy^2 = 15x^2 + 17xy + 15y^2$$ $$x^2y= 20x^2 + 3y^2$$

Mis primeros intentos consistieron en sumar y restar las dos ecuaciones, eliminar una variable, completar algunos cuadrados, etc. Pero no hubo avances significativos, ya que pronto llegué a un callejón sin salida.

La forma en que pude resolver este problema fue algo inusual: dividí las ecuaciones para obtener $\frac {y}{x} = \frac{15x^2 +17xy + 15y^2}{20x^2 + 3y^2}$ . Parecía un comienzo muy desesperado, pero pronto me di cuenta de que podía dividir el numerador y el denominador por $x^2$ en el lado derecho de la ecuación, lo que me permitió sustituir $\frac {y}x= m$ . Despejando el denominador, obtuve una ecuación cúbica en $m$ que se factoriza como $(m^2+1)(m-5)=0$ . Como $x$ y $y$ son números reales, he rechazado la $m^2 +1 = 0$ posibilidad y consiguió $m=5$ y por lo tanto $y = 5x$ . Después de usar esta relación, finalmente obtuve el par ordenado $(x,y) \equiv (19,95)$ como la solución.

Creo que mi método es muy "robótico" e innecesariamente complicado. ¿Hay alguna forma más corta, mejor o más elegante de resolver este problema? No consigo encontrar ningún otro enfoque. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que tu método está bien. Sobre los números complejos obtenemos las soluciones $$ (x,y)=(0,0),(19,95),(-17i,17),(17i,17), $$ tomando la resultante con respecto a $y$ que es $$ 15x^4(x^2+17^2)(x-19)=0. $$