¿Los productos incontables de$\mathbb{R}$ siempre son no secuenciales?

Question

Recordemos que un espacio topológico $X$ es secuencial si los subconjuntos cerrados son exactamente los subconjuntos $A \subseteq X$ tal manera que no hay una secuencia de puntos en $A$ puede converger a un punto en $X \setminus A$.

Recientemente me topé con esta respuesta por user642796 que al final de las listas de todos los innumerables productos de $\mathbb{R}$ como ejemplos de no-secuencial de los espacios topológicos.

En una mucho más reciente comentario de usuario Henno Brandsma dice lo siguiente:

$\mathbb{R}^\kappa$ es no-secuencial si $\kappa \ge \mathfrak{c}$. Creo que es coherente que $\mathbb{R}^{\omega_1}$ es secuencial, depende de su teoría de conjuntos. Así que el último elemento [que innumerables productos de $\mathbb{R}$ son no-secuencial] no es totalmente correcta.

Este comentario ha ido unresponded desde hace casi tres semanas, y tengo dudas de que la contestadora nunca va a responder a ella. (De acuerdo con el perfil que ellos no han visto desde Noviembre de 2017.)

Por lo que es justo? Son innumerables los productos de $\mathbb{R}$ siempre no secuencial, o no dependen "de su teoría de conjuntos"?

Answer 1

Yo creo que puede depender de la forma débil que usted permita que su teoría de conjuntos. Si usted considera que la teoría de conjuntos para ser ZFC (y sus extensiones), entonces user642796 es correcto que innumerables productos de $\mathbb{R}$ son siempre no-secuencial. Si usted permite que la teoría de conjuntos para ser más débil que ZFC (en particular mediante la eliminación de el Axioma de Elección), entonces es posible que Henno Brandsma es correcta. Voy a hablar un poco más (pero mucho menos con autoridad acerca de esto después de mostrar la ZFC caso.

---

Para mostrar (en ZFC) que $\mathbb{R}^\kappa$ es no-secuencial, siempre que $\kappa$ es un incontable cardenal, considerar el subconjunto $$A = \{ x = (x_\xi)_{\xi < \kappa} \in \mathbb{R}^\kappa : | \{ \xi < \kappa : x_\xi \neq 0 \} | \leq \aleph_0 \}.$$ This can easily be shown to be a non-closed subset of $\mathbb{R}^\kappa$ (it's actually a dense subset of $\mathbb{R}^\kappa$ which is clearly not all of $\mathbb{R}^\kappa$). We now show that no sequence in $$ can converge to a point outside of $$.

Deje $( a_n = ( a^{(n)}_\xi )_{\xi < \kappa} )_{n \in \mathbb{N}}$ ser convergente secuencia de puntos en $A$ con límite de $b = ( b_\xi )_{\xi < \kappa}$. Tenga en cuenta que a medida para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ el conjunto $\{ \xi < \kappa : a^{(n)}_\xi \neq 0 \}$ es contable, entonces también lo es $K = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ \xi < \kappa : a^{(n)}_\xi \neq 0 \}$. Si $b \notin A$, $\{ \xi < \kappa : b_\xi \neq 0 \}$ es incontable, debe haber un $\xi \in \kappa \setminus K$ tal que $b_\xi \neq 0$. Como $a_n \rightarrow b$ debe ser ese $a^{(n)}_\xi \rightarrow b_\xi$ (proyección asignaciones son continuas y así preservar secuencial de los límites). Pero $a^{(n)}_\xi = 0$ todos los $n$, e $b_\xi \neq 0$, lo cual es absurdo! Por lo tanto, debe ser ese $b \in A$, según se requiera.

---

Un lector atento observará que puedo hacer un audaz uso del Axioma de Contables Elección (AC_ω) a la conclusión de que la $K$ es contable. (Creo que la afirmación de que "contables uniones de conjuntos contables son contables" es estrictamente más débiles que los de CA_ω, pero AC_ω parece ser el más débil "citable" axioma implica). Podría ser posible que en innumerables productos de $\mathbb{R}$ son secuenciales en algunos modelos de ZF+AC_ω... quizás $\mathbb{R}^{\omega_1}$ es secuencial en un modelo donde $\omega_1$ es una contables de la unión de conjuntos contables.

Yo también soy implícitamente usando el Axioma de Elección para reducir "todos los innumerables productos de $\mathbb{R}$" a "todos los $\mathbb{R}^\kappa$ para un incontable cardenal $\kappa$". Si AC_ω falla, entonces usted podría tener Dedekind finito, sino conjuntos infinitos (que son "innumerables", pero no son equipotente a cualquier ordinal). Así que esto también es algo a tener en cuenta. La mente, teniendo en cuenta $\mathbb{R}^I$ para una multitud innumerable $I$, que en realidad no ejecutar cualquier tipo de problemas hasta que tratando de mostrar que $\{ i \in I : b_i \neq 0 \} \setminus \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \{ i \in I : a^{(n)}_i \neq 0 \}$ es no vacío.

Answer 2

Puedo retirar el comentario porque creo que misremembered: El hecho de que yo tenía en mente también se trata de un tema recurrente en este sitio: secuencial compacidad: hay un cardenal $\mathfrak{t}$, de los cuales sólo podemos demostrar en ZFC que $\aleph_1 \le \mathfrak{t} \le \mathfrak{c} =2^{\aleph_0}$ (por lo bajo CH todos los tres son iguales a$\aleph_1$, mientras que bajo el axioma de Martin MA, podemos por ejemplo, ha $\mathfrak{t} = \mathfrak{c} = \aleph_2$) tal que:

Si $X_{i \in I}$ es una familia de secuencialmente compacto (Hausdorff) espacios y $|I| < \mathfrak{t}$ $\prod_{i \in I} X_i $ es secuencialmente compacto y si $|I| \le \mathfrak{t}$, $\prod_{i \in I} X_i$ es countably compacto, pero, por ejemplo, $\{0,1\}^{\mathfrak{t}}$ o $[0,1]^{\mathfrak{t}}$ no es secuencialmente compacto. Se generaliza el hecho de que los contables de los productos de forma secuencial espacios compactos son secuencialmente compacto, y el hecho bien conocido de que $[0,1]^\mathbb{R}$ no es secuencialmente compacto.

En el modelo CH $[0,1]^{\omega_1}$ es no secuencialmente compacto, mientras que en la MA modelo es la que es. De ahí la confusión en mi mente.

Como @palladiumtelemann se ha señalado acertadamente, la $\Sigma$-producto en el producto completo se muestra que un subconjunto denso (por lo tanto no cerrado) es secuencialmente cerrado en $\mathbb{R}^{\omega_1}$. Lo siento para confundir a la OP.