Podemos predecir cualitativamente la estrategia del alemán y el equipo de EE.UU. en el Mundo de hoy de la Copa partido de fútbol?

Question

En el Mundo de hoy de la Copa partido de fútbol entre Alemania y estados unidos, ambos equipos sólo necesita un empate para avanzar a la siguiente ronda. Ha habido especulaciones acerca de la posible colusión, especialmente teniendo en cuenta la relación amistosa entre los dos entrenadores, pero vamos a suponer que ambos equipos sigan su ética profesional y va a maximizar sus posibilidades de llegar a la siguiente ronda (no de ganar este juego en particular) sin intentar hacer un trato con el otro equipo.

En este artículo se afirma que no hay ninguna razón para preocuparse de que el juego va a ser aburrido, y ambos equipos se juegan a ganar, hasta que en algún momento tarde en el juego, si la puntuación es, incluso, pueden decidir ir a por un empate. Que hace que algunas sentido intuitivo; así que me preguntaba: ¿Podemos proporcionar soporte matemático para este cualitativa, predicción acerca de las estrategias óptimas de los equipos?

Para simplificar, vamos a suponer que los equipos de antelación si gana o empata y no avanzan si pierden (que no es del todo cierto, ya que si pierden el resultado dependerá también en el resultado del otro partido del grupo, en diferentes formas para los dos equipos); y también ignoran el incentivo de ganar que surge debido a que es probable que conduzca a un débil rival en la siguiente ronda.

Answer 1

Traté de lidiar con el problema analíticamente, pero lo que se me ocurrió parecía tan involucrado y unenlightening que propongo una mayor simplificación: supongamos que después de un gol, el goleador del equipo es probablemente suficiente para ganar por la adopción de un enfoque conservador que nos podemos descuidar la probabilidad de que el otro equipo de igualdades.

A continuación, el juego se reduce a tratar de marcar un gol o hacer para el pitido final antes de que el otro equipo anote un gol. En cada punto en el juego, cada equipo puede elegir entre diversos enfoques (en el juego-términos teóricos, las "acciones"), algunos de los más conservadores y algunos más arriesgado. Dado un enfoque rígido de sus oponentes, cada uno de los del equipo de enfoques puede ser caracterizada por una tasa de $\lambda_1$, en la que han de marcar goles y una tasa de $\lambda_2$ a que sus oponentes marcar goles. En el cambio de una más conservador para un mayor enfoque de riesgo, que va a aumentar tanto la $\lambda_1$$\lambda_2$. (Si una aumenta y la otra disminuye, lo que significa que uno de los enfoques es dominado por el otro y no necesitan ser consideradas.)

Ahora el juego es un sencillo en tiempo continuo de la cadena de Markov con las tasas de transición $\lambda_1$ $\lambda_2$ a partir de un inicial estado atado a dos finales de la ganancia de los estados, y de la distribución de probabilidad después de tiempo $t$ es

$$\pmatrix{ c_1\left(1-\mathrm e^{-\lambda t}\right)\\ \mathrm e^{-\lambda t}\\ c_2\left(1-\mathrm e^{-\lambda t}\right) }$$

con $\lambda=\lambda_1+\lambda_2$ $c_i=\lambda_i/\lambda$ (donde el orden de las entradas es ganar, robar, perder). Por lo tanto, si el tiempo lo $t$ permanece para ser jugado y el equipo adopta el mismo enfoque durante todo este tiempo, su probabilidad de avanzar a la siguiente ronda será

$$p=c_1\left(1-\mathrm e^{-\lambda t}\right)+\mathrm e^{-\lambda t}\;,$$

la suma de las dos primeras entradas. Vamos a analizar esta para grandes y pequeños $t$. Para $t\gg1/\lambda$ podemos descuidar la exponencial términos y $p\approx c_1$, es decir, la probabilidad se acerca a la proporción de goles marcados por el equipo. Para $t\ll1/\lambda$, podemos ampliar la exponencial de los términos de primer orden en $t$ y consigue $p\approx1-(1-c_1)\lambda t=1-c_2\lambda t=1-\lambda_2 t$, por lo que la probabilidad disminuye en proporción a la velocidad a la que los opositores marcar goles.

Tanto la limitación de los resultados de sentido – si el juego se va para siempre, finalmente, alguien se va a marcar un gol, y usted quiere asegurarse de que es probable que sea; si el juego dura sólo un tiempo corto, es cuadráticamente raro que ambos equipos disparar a un objetivo durante ese tiempo, por lo que no es rentable para invertir en el rodaje de uno de los primeros y lo que desea es minimizar las posibilidades de que el otro equipo de rodaje.

A modo de resumen, en el corto plazo, desea minimizar $\lambda_2$, y en el largo plazo se quiere maximizar $c_1=\lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)$ (o lo que es equivalente a minimizar $c_2$). Claramente el enfoque más conservador minimiza $\lambda_2$. Para $c_2$, depende de los detalles, pero es al menos plausible que la adopción de un mayor enfoque de riesgo que pueden aumentar su propio ritmo de marcar goles desproporcionadamente más que tu oponente, y por lo tanto maximizar $c_1$. Si esto es así, entonces el equipo debe de hecho adopten un enfoque de riesgo, cuando hay una gran cantidad de tiempo a la izquierda y un enfoque más conservador más cerca del final del partido.

Para obtener un mayor resultado cuantitativo, supongamos por simplicidad que un enfoque del equipo es fijo (es decir, que jugar de forma conservadora a lo largo del juego debido a un mayor enfoque de riesgo sería menor la proporción de goles); y teniendo en cuenta esto, el otro equipo tiene exactamente dos enfoques, un enfoque conservador con el objetivo tasas de $\lambda_1$ $\lambda_2$ y un enfoque de riesgo con el objetivo tasas de $\lambda'_1$ $\lambda'_2$ (de nuevo con $\lambda'=\lambda'_1+\lambda'_2$). A continuación, debe haber un punto de cruce $t_\mathrm c$ antes de la finalización del partido en el que el equipo debe cambiar en el riesgoso para el enfoque conservador. Para encontrar $t_\mathrm c$, considere la posibilidad de un intervalo de tiempo infinitesimal $\mathrm dt$ a la derecha antes de que el interruptor. Si el equipo toma el enfoque de riesgo durante este intervalo, se puede perder, ya sea por recibir un gol durante el intervalo, con una probabilidad de $\lambda'_2\mathrm dt$, o por la pérdida durante el resto del juego, con una probabilidad de $(1-\lambda'\mathrm dt)c_2(1-\mathrm e^{-\lambda t_\mathrm c})$ (ya que tomará el enfoque conservador después de que el interruptor). Si el equipo toma el enfoque conservador durante el intervalo, el resultado será el mismo con el cebado cantidades reemplazado por el imprimado cantidades. El punto de cruce $t_\mathrm c$ está determinado por la condición de que estas dos probabilidades son las mismas, es decir,

$$\begin{eqnarray} \mathrm dt\lambda'_2+\left(1-\lambda'\mathrm dt\right)c_2\left(1-\mathrm e^{-\lambda t_\mathrm c}\right)&=& \mathrm dt\lambda_2+\left(1-\lambda\mathrm dt\right)c_2\left(1-\mathrm e^{-\lambda t_\mathrm c}\right)\;,\\ \lambda'_2-\lambda'c_2\left(1-\mathrm e^{-\lambda t_\mathrm c}\right)&=& \lambda_2-\lambda c_2\left(1-\mathrm e^{-\lambda t_\mathrm c}\right)\;, \end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} t_\mathrm c&=&-\frac1\lambda\log\left(1-\frac1{c_2}\frac{\lambda'_2-\lambda_2}{\lambda'-\lambda}\right)\\ &=&-\frac1\lambda\log\left(1-\frac\lambda{\lambda_2}\frac{\lambda'_2-\lambda_2}{\lambda'-\lambda}\right)\\ &=&-\frac1\lambda\log\left(1-\frac{1-\lambda'_2/\lambda_2}{1-\lambda'/\lambda}\right)\;. \end{eqnarray}$$

Para producir algunos de los números, vamos a suponer que Alemania tiene un enfoque conservador en todo y la que NOS ofrece la posibilidad de hacer la misma, en cuyo caso la puntuación de un gol por $90$ minutos y Alemania puntuaciones de un gol por $60$ minutos, o tomar riesgos, en cuyo caso la puntuación de un gol por $40$ minutos y Alemania puntuaciones de un gol por $30$ minutos (para que el NOS puede aumentar su cuota de goles por la toma de riesgos). A continuación, llegamos $\mathrm t_c\approx86$ minutos, es decir, no sería de alrededor de $4$ minutos de interesante reproducir y, a continuación, $86$ minutos de la decepción.

Para mejorar eso, vamos a suponer que el NOS hace un poco peor al jugar de forma conservadora, sólo marcando un gol por $120$ minutos. A continuación, $\mathrm t_c\approx55$ minutos, por lo que casi toda la primera mitad sería interesante. Para llegar a un punto de cruce más tarde, como se predijo en el artículo, tendríamos que suponer una ventaja aún mayor a partir de la toma de riesgos, o asumir que en general la meta más alta de las tasas ($t_\mathrm c$ escalas inversamente proporcional si tenemos la escala de todas las meta tarifas proporcionalmente), o la caída de algunas de las simplificaciones. Por lo tanto, la continuación del juego después de que el primer objetivo podría favorecer la toma de riesgos, ya que reconoció objetivo puede ser compensada por un solo gol, mientras que después de tomar la delantera sólo dos que se opongan a los objetivos puede llevar a la derrota; y, ciertamente, el incentivo de ganar con el fin de obtener un rival más débil en la siguiente ronda favorece la toma de riesgos.