Como yo lo entiendo, el modelo de la teoría que dice mucho sobre el conjunto de teorías (en plural), pero también se funda en la teoría de conjuntos, lo que significa que usted tiene que elegir uno que la teoría de conjuntos para hacer el modelo de la teoría de dentro. Pero las diferentes opciones de la teoría de conjuntos se pueden obtener diferentes versiones de los modelos de la teoría. Así que, ¿eso significa que es imposible ser agnóstico acerca de su conjunto teórico universo si usted desea considerar el modelo teórico de los resultados? Cuánto de una diferencia que hace su elección de la teoría de conjuntos en realidad hacer cuando se trata de modelo de la teoría?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
Puntos
116
En última instancia depende de lo que pregunta(s) que desea preguntar.
Algunas de las preguntas naturales en el modelo de la teoría son muy sensibles a la temperatura que la teoría de conjuntos. Por ejemplo:
La existencia de las modelos de las diversas teorías y cardinalidades es muy conjunto teórico: tanto básicos de la combinatoria principios como el de la CH y la más complicada de principios como el de la inaccesibles cardenales rápidamente se vuelven relevantes.
Ciertamente, una vez que se mueven más allá de la lógica de primer orden, la teoría de conjuntos tiene una tendencia a la fluencia en incluso a preguntas muy básicas. Por ejemplo:
Si un infinitary frase tiene un modelo es, en general, independiente de la teoría de conjuntos, y puede ser cambiado por forzar.
Hay un segundo orden de la frase que es una tautología si el continuum hipótesis sostiene, por lo que incluso la validez de la pregunta de segundo orden de la lógica implica no trivial de la teoría de conjuntos.
Más preguntas básicas, sin embargo, son teóricamente "sólidos". Por ejemplo:
- Supongamos $M$ $N$ son transitivos modelos de (bastante grande, pero sigue siendo muy muy pequeño, fragmento) de ZFC. Entonces si $\mathcal{A}$ es una estructura en ambos modelos y $\varphi$ es de primer orden de la frase, tenemos $$M\models\mathcal{A}\models\varphi\quad\iff\quad N\models\mathcal{A}\models\varphi.$$, En particular, no podemos cambiar satisfacción por forzar más o tomando interior de los modelos de un modelo transitivo de ZFC.
Por otro lado, pueden ser sorprendentes fallas de robustez:
- Si tratamos de generalizar los anteriores puntos demasiado lejos, estamos en problemas; así que hay algunos muy débil de la teoría de conjuntos subyacentes básicas, incluso la satisfacción de los reclamos.
