Selección adaptativa del número de réplicas bootstrap

Question

Como en la mayoría de los métodos de Monte Carlo, la regla para el bootstrapping es que cuanto mayor sea el número de réplicas, menor será el error de Monte Carlo. Pero hay rendimientos decrecientes, por lo que no tiene sentido realizar tantas réplicas como sea posible.

Supongamos que quiere asegurarse de que su estimación $\hat $ de una determinada cantidad $$ is within $$ de la estimación $\tilde $ que se obtendría con un número infinito de réplicas. Por ejemplo, puede querer estar razonablemente seguro de que los dos primeros decimales de $\hat $ no son erróneas debido al error de Monte Carlo, en cuyo caso $ = .005$ . ¿Existe un procedimiento adaptativo en el que se generen continuamente réplicas bootstrap, comprobando $\hat $ y parando según una regla tal que, digamos, $|\hat - \tilde | < $ ¿con un 95% de confianza?

N.B. Aunque las respuestas existentes son útiles, todavía me gustaría ver un esquema para controlar la probabilidad de que $|\hat - \tilde | < $ .

Answer 1

Si la estimación de $\theta$ en las réplicas se distribuyen normalmente supongo que se puede estimar el error $\hat{\sigma}$ en $\hat{\theta}$ de la desviación estándar $\sigma$ :

$$ \hat{\sigma} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $$

entonces puedes parar cuando $1.96*\hat{\sigma} < \epsilon$ .

¿O he entendido mal la pregunta? ¿O quiere una respuesta sin asumir la normalidad y en presencia de autocorrelaciones significativas?

Answer 2

En las páginas 113-114 de la primera edición de mi libro Bootstrap Methods: A Practitioner's Guide Wiley (1999) hablo de los métodos para determinar cuántas réplicas de bootstrap hay que hacer cuando se utiliza la aproximación de Monte Carlo.

Entro en detalle sobre un procedimiento debido a Hall que fue descrito en su libro The Bootstrap and Edgeworth Expansion, Springer-Verlag (1992). Demuestra que cuando el tamaño de la muestra n es grande y el número de réplicas del bootstrap B es grande, la varianza de la estimación del bootstrap es C/B, donde C es una constante desconocida que no depende de n ni de B. Así que si se puede determinar C o acotarla por encima, se puede determinar un valor para B que haga que el error de la estimación sea menor que el $\epsilon$ que usted especifica en su pregunta.

Describo una situación en la que C = 1/4. Pero si no tienes una buena idea de cuál es el valor de C, puedes recurrir al enfoque que describes, en el que tomas B=500, por ejemplo, y luego lo duplicas a 1000 y comparas la diferencia en esas estimaciones bootstrap.

Otra idea la da Efron en el artículo "Better bootstrap confidence intervals (with discussion)", (1987) Journal of the American Statistical Association Vol. 82 pp 171-200.