$A_5$ es el único subgrupo de$S_5$ de la orden 60

Question

Mi intento : Supongamos $H$ es otro subgrupo de $S_5$ orden $60$

por Lagrange del Teorema $\vert H\cap A_5\vert ||H|$, $|H \cap A_5| \in\{1,2,3,5,6,10,20,30,60\}$

$$\Rightarrow |HA_5| =\frac{|H||A_5|}{|H \cap A_5|}=3600,1800,1200,900,720,600,360,180,120,60$$

Así, el único de los candidatos por el orden de $|H \cap A_5|$$30$$60$.

A continuación, quiero reclamar que la orden debe ser $60$. por lo tanto $|H \cap A_5|=|A_5|$ $$\Rightarrow H=A_5$$

Pero yo no sabía cómo mostrar el primer caso no tiene. Por favor, dame una pista por favor!

PS. No he aprendido los conceptos de grupo normal y simple grupo. Así que, me gustaría que explicar sin el uso de estos conceptos! Gracias.

Answer 1

1. Deje $H$ a un subgrupo de índice $2$ $G$ un grupo finito. Deje $g\in G\setminus H$. El subconjunto $g H$ no se cruzan $H$. Por lo tanto está incluido en $G\setminus H$. Mirando cardinalidades, llegamos a la conclusión de $g H= G\setminus H$. Desde $g\not \in H$,$g\cdot g \not \in gH$. Que implica $g\cdot g\in H$. Conclusión: el cuadrado de cualquier elemento de $G$ se encuentra en $H$.

2. Deje $G = S_n$. Vamos a demostrar que todo elemento de a $A_n$ es un producto de los cuadrados de los elementos de $S_n$. Es suficiente para demostrar que el producto de dos transposiciones es un cuadrado. Si las transposiciones $(a,c)$, $(b,d)$ han desunido apoya comprobamos $(a,c)(b,d)=(a,b,c,d)^2$. El otro caso: $(a,b)(a,c)=(c,b,a)=(c,a,b)^2$.

3. Deje $H$ ser un subgrupo de índice$2$$S_n$. A partir del 1 de. obtenemos: $H$ contiene todos los productos de plazas. Utilizando también el 2. llegamos a la conclusión de $H\supset A_n$. Por lo tanto,$H=A_n$.