Sobre los espacios de Hilbert no separables

Question

En Reed & Simon, vol 2, capítulo X, problema 4, se pregunta:

Dejemos que $M$ y $N$ sean subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable. Si $\dim M > \dim N$ , demuestre que $M\cap N^{\perp} \ne \{0\}$ .

Aquí, $\dim V$ es la cardinalidad de una base de Hilbert para $V$ .

La solución es bastante sencilla, ya que debemos tener $\dim N = n \in \mathbb{N}$ y por lo tanto se convierte en un problema de álgebra lineal.

Mi pregunta es: ¿se mantiene para los espacios de Hilbert no separables?

No pude demostrarlo ni pensar en contraejemplos para ello. Gracias de antemano.

Answer 1

En términos más generales, supongamos que $M$ y $N$ son espacios de Hilbert con $\dim M>\dim N$ y que $T:M\to N$ sea un mapa lineal acotado. Entonces la imagen del mapa adjunto $T^*:N\to M$ no puede ser denso en $M$ (la clausura de la imagen es el tramo cerrado de la imagen de una base ortonormal para $N$ y, por tanto, tiene una dimensión máxima de $\dim N$ ). Por lo tanto, existe un $v\in M$ que es ortogonal a la imagen de $T^*$ . Esto significa que $0=\langle v,T^*w\rangle=\langle Tv,w\rangle$ para todos $w\in N$ Así que $Tv=0$ . Es decir, el núcleo de $T$ no es trivial.

En su configuración, ahora concluimos inmediatamente que $M\cap N^\perp$ es no trivial dejando que $T:M\to N$ sea la proyección ortogonal a $N$ .