¿Por qué no definimos barrios como conjuntos abiertos?

Question

Parece haber dos definiciones comunes de vecindarios de un punto: un conjunto abierto que contiene el punto, o un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene ese punto en sí mismo. ¿Por qué no utilizamos la definición anterior, parece mucho más simple? ¿Qué ganamos con esto último?

Answer 1

A veces es más conveniente tener la definición más general : topologists hablar de "barrios cerrados de un punto", por ejemplo, Un espacio de $X$ es regular si todos los abiertos de la vecindad de un punto contiene un barrio cerrado de ese punto. También, compacidad local se define a menudo como "cada punto tiene un compacto de barrio". Estas maneras de definir las nociones hacer que sea fácil tener una definición general. Es también muy bien señala el abierto de conjuntos: un conjunto $A$ es abrir el fib $A$ es un barrio de $x$ todos los $x \in A$.

También, como @GEdgar avisos en un comentario, es conveniente tener el conjunto de todos los barrios de que un punto sea un llamado de filtro, y para que sea cerrado bajo superseries necesitamos la definición general.

En resumen, no es necesario, pero sí conveniente. Y podemos definir las cosas como nos gusta, como mucho como queda claro a qué nos referimos.

Answer 2

Es una cuestión de conveniencia. Algunas veces es necesario hablar de abrir los conjuntos que contiene el punto, y algunas veces usted necesita hablar acerca de los conjuntos que contienen un conjunto abierto que contiene al punto. Así que necesitamos un nombre para cada concepto. Podemos (básicamente) a elegir entre

• Barrio & set que contiene un barrio
• Abierto barrio y la vecindad

Yo personalmente creo que el segundo par de nombres es más atractivo, en general. Así que me iría por la "vecindad de un punto", que significa "un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene al punto". Otros pueden estar en desacuerdo, y que podría pensar que el "conjunto abierto que contiene al punto" es una mejor definición.

Answer 3

La primera definición hace necesario que los vecindarios sean conjuntos abiertos. La segunda definición permite que los conjuntos cerrados sean barrios también. Muchos matemáticos requieren que el vecindario sea un conjunto abierto. Pero es una cuestión una convención. Por lo tanto, tenemos dos definiciones.

Answer 4

En alemán tenemos dos definiciones. Un "Umgebung" de$x$ es cualquier conjunto abierto que contiene$x$. Un "Nachbarschaft" de$x$ es cualquier conjunto que contiene un Umgebung de$x$. No encontré una traducción adecuada de esas dos palabras.