Demostrar por inducción que $n! < (\frac{n+1}{2})^n$.

Question

Como un análisis de las tareas que tengo que demostrar por inducción que

$n! < (\frac{n+1}{2})^n : (2 \le n \in\mathbb{N})$

Para $n = 2$ esto es trivial, pero para$n+1$, no importa cómo puedo transformar la ecuación me parece que no puede conseguir $(\frac{n+2}{2})^{n+1}$ sobre el lado derecho. Estoy seguro de que esta es una fácil tarea y me estoy perdiendo algo totalmente obvio, pero lo más cercano que me dieron era la $(n+1)! < \frac{(n+2)^{n+1}}{2^{n}}$.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Por hipótesis, tenemos

$$\begin{align} (n+1)!&=(n+1)n!\\\\ &<(n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\\\\ &=2\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\end{align}$$

De Bernoulli de la Desigualdad, nos encontramos con que

$$\begin{align} \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1} &=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\\\\ &\ge 2\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n+1} \end{align}$$

Y hemos terminado!

Answer 2

$$ \frac{ \left( \frac{n+1}{2} \right)^n}{\left( \frac{n}{2} \right)^{n-1}} \; \; = \; \; \frac{1}{2} \; n \; \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n $$

Answer 3

Un total de derivación. Parar aquí si sólo está buscando una pista.

Se asume que $$ n! < \left(\frac{n+1}{2}\right)^n $$ se sostiene por algunos $n\geq 2$. A continuación, $$ (n+1)! = (n+1)n! < (n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n $$ por la hipótesis de inducción. Ahora, queda por concluir para mostrar que $$ (n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n \leq \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1} $$ es decir, reorganizar, que $$ \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} \leq \frac{1}{2}. $$ Pero el LHS es $$ \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+1} = \left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{n+1} = e^{(n+1)\ln\left(1-\frac{1}{n+2}\right)} \leq e^{-\frac{n+1}{n+2}} \leq e^{-\frac{3}{4}} < \frac{1}{2} $$ con la primera que $\ln(1+x) \leq x$, y, a continuación, la monotonía de $\exp$ (y el hecho de que $n\geq 2$).

Answer 4

Vale la pena señalar que algunos de inducción pruebas son más limpiamente presentado, si se utiliza $n-1$ por la hipótesis inductiva. Es decir, supongamos que tenemos $(n-1)!\lt\left(n\over2\right)^{n-1}$. Entonces

$$n!=n(n-1)!\lt n\left(n\over2\right)^{n-1}=2\left(n\over2\right)^n$$

y por lo tanto no es suficiente para mostrar que

$$2\le\left(n+1\over n\right)^n=\left(1+{1\over n}\right)^n$$

Este es quizás más fácil de mostrar, con un independiente de inducción argumento para establecer que $(1+x)^n\ge1+nx$ cualquier $x$. En este caso, el uso de $n$ para la inducción de la hipótesis de obras limpiamente: Si $(1+x)^n\ge1+nx$, luego

$$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^n\ge(1+x)(1+nx)=1+(n+1)x+nx^2\ge1+(n+1)x$$

Una vez que usted ha $(1+x)^n\ge1+nx$ cualquier $x$, puede permitir a $x={1\over n}$ y obtener

$$\left(1+{1\over n}\right)^n\ge1+n\cdot{1\over n}=1+1=2$$

Answer 5

Sin la inducción y completamente de primaria:

$n! = \prod_{k=1}^n k $ así

$\begin{array}\\ n!^2 &= (\prod_{k=1}^n k)^2\\ &= (\prod_{k=1}^n k)(\prod_{k=1}^n k)\\ &= (\prod_{k=1}^n k)(\prod_{k=1}^n (n+1-k))\\ &= \prod_{k=1}^n k(n+1-k)\\ &= \prod_{k=1}^n (k(n+1)-k^2)\\ &= \prod_{k=1}^n \left(\dfrac{(n+1)^2}{4}-\dfrac{(n+1)^2}{4}+k(n+1)-k^2\right)\\ &= \prod_{k=1}^n \left(\dfrac{(n+1)^2}{4}-\left(\dfrac{(n+1)^2}{4}-k(n+1)+k^2\right)\right)\\ &= \prod_{k=1}^n \left(\dfrac{(n+1)^2}{4}-\left(\dfrac{n+1}{2}-k\right)^2\right)\\ &> \prod_{k=1}^n \left(\dfrac{(n+1)^2}{4}\right)\\ &= \left(\dfrac{(n+1)^2}{4}\right)^n\\ &= \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{2n}\\ \text{so}\\ n! &> \left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{n}\\ \end{array} $