¿Cómo puedo factor de la ecuación de $a^3 - 5a^2 + 8a -4 = 0$?

Question

Considere la posibilidad de la igualdad $$ a^3 - 5a^2 + 8a -4 = 0 $$

¿Cuáles son los pasos a este factor en la siguiente?

$$ (a − 1)(a − 2)^2 = 0 $$

¿Hay alguna técnica para hacer esto?

Answer 1

Usted tiene que adivinar una raíz, a continuación, hacer una división larga y, a continuación, cuando usted está a la izquierda de la segunda orden de polinomio, factorizar. Así que digamos que nos imaginamos raíz de $a = 1$, entonces la división larga por $(a -1)$ da $a^2-4a + 4$ que luego se puede factorizar a $(a - 2)^2$.

A menudo estos tipos de problemas(en las escuelas), se puede romper un factor de $a$ (no en este caso), y luego se queda con un simple polinomio cuadrático.

También puedes probar de buscar en una parcela de la función y ver donde están las raíces, y, a continuación, hacer una división larga hasta que pueda hacer la factorización del polinomio cuadrático que la izquierda.

Answer 2

\begin{align} a^3 - 5a^2 + 8a -4 &= a^3 - a^2 -4a^2 + 8a -4 \\ &= a^2(a-1) - 4(a^2-2a+1) \\ &= a^2(a-1) - 4(a-1)^2\\ &= (a-1) \left[ a^2 - 4(a-1)\right] \\ &= (a-1)(a-2)^2 \end{align}

Answer 3

Agregando a lo que JamMaster dijo, su división larga conjeturas no debe ser al azar. Tomar la constante de $C$ de la ecuación (en este caso $-4$) y tomar el coeficiente de la variable elevada al grado más alto (en este caso $1$). Ahora, tomar todos los factores de $-4$ y todos los factores de $1$ y dividir el primero por el segundo. Su solución verdadera(s) $\pm1, \pm2,$ y/o $\pm4$.

Enchufe en el $6$ valores usando la división sintética hasta que uno trabaja. De esa manera usted no tiene que arbitrariamente supongo que las raíces de la ecuación.

Existen otras pruebas para determinar cuántas raíces son positivos o negativos y cuántos son reales vs imaginarios o complejos. Si me quieres publicar estos tan bien, me puede.

Answer 4

Entero raíces de este ploynomial, si, son divisores de $-4$, es decir, que entre los $\pm 1,\pm2,\pm 4$. A partir de los signos de los coeficientes, vemos que no puede ser no negativo de la raíz, por lo tanto, usted sólo tiene que probar la $1,2,4$. Sucede $1$ $2$ son raíces, sino $4$ no lo es.

Como consecuencia, $p(a)=a^3-5a^2+8a-4$ es divisible por $a-1$$a-2$. Estos son coprime, s o $p(a)$ es divisible por $(a-1)(a-2)=a^2-3a+2$. A continuación, la división larga da la factorización.

Nota: Como $2$ es también una raíz de $p'(a)=3a^2-10a+8$, esto implica $2$ es una doble raíz de $p(a)$, es decir, $p(a)$ es divisible por $(a-2)^2$, y finalmente por $(a-1)(a-2)^2$. Si comparamos los principales coeficientes de ambos, llegamos a la conclusión de $p(a)$ es $(a-1)(a-2)^2$.

Answer 5

Añadir a lo que han dicho otros, con el fin de encontrar (o refutar la existencia de) racional raíces, hay un teorema debido a Gauss (creo) ¿por qué se afirma que:

Deje $f=\sum_{i=0}^na_ix^i$ ser un polinomio con coeficientes enteros, entonces si$\frac{c}{d}$, con $c,d\in \mathbb{Z}$, $d\neq 0$ es una raíz de $f$, $c$ divide $a_0$ $d$ divide $a_n$.

Esto reduce las posibilidades de ensayo y error.