Puede caracteres se producen en automorphic representación

Question

Deje $\pi$ ser una irreductible cuspidal automorphic representación de $GL(2)$ sobre un campo global con factorización $\pi = \otimes \pi_v$.

En la mayoría de un número finito de $\pi_v$ no son esféricas.

Preguntas:

• Puede suceder que $\pi_v(g) = \chi_v(\det g)$ para el carácter unitario de $F_v^\times$? Puede ser infinitamente a menudo?

• Es el Steinberg esférica? Puede ocurrir como $\pi_v$? Puede parecer infinitamente a menudo?

Answer 1

Un cuspform de GL(2) tiene una transformada de Fourier-Whittaker expansión, es decir, que tiene un mundial Whittaker modelo. Por lo tanto, todos los locales de repns han Whittaker modelos.

Nada de factoring a través de $\det$ no tiene un Whittaker modelo, por lo que no puede aparecer.

Steinberg repns tienen Whittaker modelos, pero no son esféricas, de modo que sólo finitely-muchos lugares pueden tener ellos aparecen, y que sin duda puede aparecer.