$G$ finito, el número de los distintos conjugados de $x$ es el índice de la normalizador $N_x$ $\{x\}$ $G$

Question

Para probar esto, hice lo siguiente:

en primer lugar, me mostró que conjugacy forma una relación de equivalencia, entonces puedo encontrar sus clases conjugacy. Entiendo cómo formar una clase conjugacy, dado un grupo. Así, el índice de la normalizador de la $\{x\}$ $G$ es el número de cosets de $N_x$$G$, ¿verdad?

El conjunto $N_x$ debe $\{a: ax = xa\}$, ¿verdad? ¿Cómo este conjunto de look? Necesito encontrarlo, así que puede tomar su cociente con $G$ y contar cuántos de ellos existen. Pero, ¿cómo hacerlo? Estoy perdido.

ACTUALIZACIÓN:

Yo creo que lo tengo:

$a\in N_G(H)b \iff ab^{-1} \en N_G(H) \iff ab^{-1}H = Hab^{-1} \iff b^{-1}H = a^{-1}Hab^{-1} \iff b^{-1}Hb = a^{-1}Ha$

Así, dos de los conjugados son iguales $\iff $ sus elementos están en el mismo coset de $N_G(H)$

Por lo tanto, hay un explícito bijection entre el conjunto de las diferentes conjugados y el normalizador, por lo que hay $[G:N_G(H)]$ diferentes conjugados de $H$.

Answer 1

Si estás familiarizado con la órbita estabilizador teorema, este resultado es una rápida aplicación. (Si usted no está familiarizado con este resultado, puede ser útil saber que este problema es un caso especial de un fenómeno más general!)

El teorema establece que si $G$ es un grupo finito que actúa sobre un conjunto $S$, e $O$ es de la órbita de algunos $x \in S$, luego

$$|O| = [G: \operatorname{Stab}_x]. \,\,\,\,\,\, (*)$$

Es decir, el tamaño de la órbita es el índice del estabilizador.

En su caso, considere la posibilidad de la acción de la $G$ sobre sí mismo por conjugación. Asumiendo $(*)$, ¿ves cómo terminar?

Answer 2

Lo que me gusta hacer es configurar una explícita bijection entre el conjunto de los conjugados de $x$ y el conjunto de cosets de $N_x$.

Ahora el conjunto de los conjugados de $x$ se parece a $ \{y^{-1}xy \ | \ y \in G\}$. La asignación obvia,

$$ y^{-1}xy \; \mapsto \; \text{right coset of $N_x$ for $s$} $$

funciona igual de bien.Muestran que este mapa es uno-a-uno que es una diversión poco de ejercicio. El hecho de que es en es sencillo.

Se puede argumentar que el dominio y el rango de la bijective mapa de arriba debe tener el mismo número de elementos como el tiempo que son finitos. El número de elementos en el rango de la bijection es el índice de $N_x$$G$.