El dual algebraico de una normativa espacio vectorial es el espacio de todos los funcionales lineales para el campo de tierra ($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ para esta pregunta). El doble continua es el subespacio de todos lineal continua y funcionales. Bajo ciertas condiciones, es muy fácil encontrar un elemento de la algebraicas dual de un espacio que no está en el doble continua:
Podemos comenzar con un particular espacio vectorial, decir $\ell^0$, y poner en ella dos no equivalentes normas, decir $\|-\|_1$$\|-\|_2$. Como son no equivalentes, habrá algunos funcional que es continua con respecto a la uno pero no el otro, en este caso, el funcional $(x_n) \to \sum x_n$ va a hacer.
Podemos comenzar con una normativa espacio vectorial que tiene un topológica de la base que luego se extienden a una base de Hamel. Suponiendo que esta extensión no es trivial, podemos definir un funcional que es cero en el original topológico, pero distinto de cero en algún elemento de la extensión. Por desgracia, la existencia de una base de Hamel depende de la versión de elección (no estoy seguro si es equivalente a CA o no, pero eso no es importante).
Podemos modificar la construcción anterior para evitar Hamel bases mediante el uso de la de Hahn-Banach teorema.
Lo que me gustaría es un ejemplo de no-continuo funcional en una de Banach espacio que puede ser explícitamente por escrito. Así que no quiero utilizar elección o HBT. Si hay un ejemplo de una normativa espacio vectorial con dos no equivalentes normas (puede muy bien suponer que los $\|-\|_a$ es estrictamente más débil de lo $\|-\|_b$) por lo que el espacio es un espacio de Banach con respecto a los más débiles de la norma, a continuación, el método (1) iba a funcionar, pero que estaría en contradicción con la asignación abierta teorema (a menos que haya alguna sutileza que yo no puedo ver ahora).
Esto se basa en Lo que es un ejemplo de un espacio que necesita el de Hahn-Banach Teorema?. Yo no estoy interesado en el lanzamiento de elección o HBT fuera de la ventana, pero es útil saber (desde un ángulo pedagógico si nada) exactamente donde se necesitan y en qué medida uno puede ir sin ellos. Una cosa que me sorprendió un poco en las respuestas a esa pregunta es que usted necesita elección/HBT a ver que $\ell^1$ no es el doble continua a $\ell^\infty$. Que me hizo pensar acerca de la algebraicas doble y si el mismo es cierto para los que, o no.
