Si $f(z)$ es analítica en el interior y en el círculo de $|z| = R$, excepto para los ceros $a_1, a_2, ..., a_m$ de multiplicidades $p_1, p_2, ... p_m$ y polos $b_1, b_2, ..., b_n$ de multiplicidades $q_1, q_2, ..., q_n$, respectivamente, y si $f(0)$ es finito y distinto de cero, a continuación, mostrar que $$\frac{1}{2 \pi }\int_0^{2\pi} \ln |f(Re^{i\theta}|d\theta = \ln |f(0)| + \sum_{k=1}^{m}p_k \ln \left( \frac{R}{|a_k|}\right) - \sum_{k=1}^{n}q_k \ln \left( \frac{R}{|b_k|}\right)$$
He encontrado el papel aquí , pero no me parecen entender la última parte $(8) - (11)$. También creo $\displaystyle \log(r_{i+1} - r_i)$ debe $\displaystyle \log \left (\frac{r_{i+1}}{r_i} \right )$ y por qué hay incremento en el coeficiente. Si $n(r)$(de un argumento de principio) es evaluado a partir de los $r_{i} - r_{i+1}$, no es sólo contar el número de ceros entre el $r_i - r_{i+1}$ (que debería ser $1$)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a reproducir casi todos los de la prueba del papel en el que se enlaza a continuación, para facilitar la presentación. También hubo un par de errores ortográficos en el documento. De todos modos, ya $\Re[\log{z}] = \log|z|$, luego por el teorema fundamental del cálculo, \begin{align} \log|f(Re^{i\theta})| & = \Re[\log{f(Re^{i\theta})}] = \Re\left[ \log{f(0)} + \int_0^R \frac{d}{dr}\left[ (\log{f(re^{i \theta})} \right] \, dr\right] \\ & = \log|f(0)| + \Re \int_0^R \frac{f'(re^{i \theta}) e^{i \theta}}{f(re^{i \theta})} \, dr \end{align} Entonces, la integración de más de $\theta$, e invertir el orden de integración, \begin{align} I = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \log| f(Re^{i \theta})| \, d\theta & = \log|f(0)| + \frac{1}{2 \pi} \Re \int_0^{2 \pi} \int_0^R \frac{f'(re^{i \theta}) e^{i \theta}}{f(re^{i \theta})} \, dr \, d\theta\\ & = \log|f(0)| + \Re \int_0^R \frac{1}{ 2\pi ir}\int_0^{2 \pi} \frac{f'(re^{i \theta}) rie^{i \theta}}{rf(e^{i \theta})} \, d\theta \, dr \\ & = \log|f(0)| + \Re \int_0^R \frac{1}{2\pi ir} \int_{C_r} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz \, dr, \end{align}
donde $C_r$ es el círculo de radio $r$. Ahora, el argumento de principio,
$$ \frac{1}{2 \pi i } \int_{C_r} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \sum_{|a_k| < r} p_k - \sum_{|b_k| < r} q_k := n(r)$$ Desde $n(r)$ es un número real, llegamos a la conclusión de que \begin{align} I = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \log| f(Re^{i \theta})| \, d\theta & = \log|f(0)| + \int_0^R \frac{n(r)}{r} \, dr \end{align} Ahora, vamos a $0 < r_1 \le \ldots \le r_{m+n} < R$ ser la orden de magnitudes de los polos y ceros $a_k, b_k$. A continuación, $n(r)$ es constante en el intervalo de $(r_j, r_{j+1})$. Set $r_0 = 0$ $r_{m+n+1} = R$ por la simplicidad. Indicar su valor en este intervalo de $n_j$. Entonces \begin{align} I - \log|f(0)| & = \sum_{j=0}^{m+n} \int_{r_j}^{r_{j+1}} \frac{n(r)}{r} \, dr = \sum_{j=1}^{m+n} \int_{r_j}^{r_{j+1}} \frac{n_j}{r} \, dr = \sum_{j=1}^{m+n} n_j [\log(r_{j+1}) - \log(r_j)] \\ & = -n_1 \log{r_1} + (n_1 - n_2) \log{r_2} + \ldots + (n_{m+n-1} - n_{m+n}) \log{r_{m+n}} + n_{m+n} \log{R} \end{align} Ahora, ¿qué es $n_{j+1} - n_{j}$? Es precisamente la multiplicidad ($\pm$ dependiendo de si es un cero o un poste) del polo/cero de radio $r_{j+1}$, porque eso es lo $n(r)$ cambios cuando el radio pasa de $r < r_{j+1}$$r > r_{j+1}$. Así que, a continuación, \begin{align} I & = \log|f(0)| - \sum_{k=1}^m p_k \log |a_k| + \sum_{k=1}^n q_k \log|b_k| + n_{m+n} \log{R} \\ & = \log|f(0)| + \sum_{k=1}^m p_k \log(R/|a_k|) - \sum_{k=1}^n q_k \log(R/|b_k|), \end{align} donde la última igualdad se mantiene debido a $n_{m+n} = \sum_{k} p_k - \sum_k q_k$, y, a continuación, la combinación de los logaritmos.
