La existencia de holomorphic función bajo condiciones

Question

Tengo que responder a esta pregunta:

Hay un holomorphic función de $f:\Omega =\{z\in \mathbb{C} \mid |z|<2\} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que

1. Para todos los $n \in \mathbb{N}\backslash\{0\}: f\left(\frac1n\right)=e^{-n}$
2. Para todos los $n \in \mathbb{N}\backslash\{0\}: f\left(\frac1n\right)=\sin(\frac{\pi n}{2})$

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Mi primer intento:

1. Si $f(z):= e^{-\frac1z} \, \Rightarrow \forall \ n: f\left(\frac1n\right) = e^{-\frac{1}{1/n}} = e^{-n}$ pero $f$ tiene una singularidad esencial en a $z=0$ por lo tanto no es holomorphic en $\Omega$
2. Si $f(z):= \sin \frac{\pi}{2z} \, \Rightarrow \forall \ n: f\left(\frac1n\right) = \sin \frac{\pi}{2\frac{1}{n}} = \sin \frac{\pi n}{2}$ pero $f$ tiene una singularidad esencial en a $z=0$ por lo tanto no es holomorphic en $\Omega$

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Mi segundo intento:

$f(z):= \sum_{l=0}^{\infty} a_l z^l$

1. La condición es $f\left(\frac1n\right)= \sum_{l=0}^{\infty} a_l \left(\frac1n\right)^l \overset{!}{=} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-n)^l}{l!} = e^{-n}$ , lo que le da a mi la siguiente: $$f(z) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^l z^{-l}}{l!}$$ Esta función tiene una singularidad esencial en 0 por lo tanto no es holomorphic en $\Omega$
2. La condición es $$f\left(\frac1n\right)= \sum_{l=0}^{\infty} a_l \left(\frac1n\right)^l \overset{!}{=} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-1)^l\left(\frac{\pi n}{2}\right)^{2l+1}}{(2l+1)!} = \sin \frac{\pi n}{2}$$ which gives my the following: $$f(z) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^l \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2l+1}}{(2l+1)!}z^{-(2l+1)}$$ Esta función tiene una singularidad esencial en 0 por lo tanto no es holomorphic en $\Omega$

Por favor revise mi respuesta porque realmente creo que me estoy perdiendo algo

Answer 1

1. Si tal $f$ existía, a continuación,$f(0)=0$, debido a la continuidad en $z=0$, y por lo tanto no sería un entero $k$ (el orden de los cero), de tal manera que $f(z)=z^kg(z)$ donde $g$ también es analítica en $\{z:|z|<2\}$, e $g(0)\ne 0$. Pero $$ \mathrm{e}^{-n}=f\big(\tfrac{1}{n}\big)=\left(\tfrac{1}{n}\right)^kg\big(\tfrac{1}{n}\big), $$ y por lo tanto $$ g\big(\tfrac{1}{n}\big)=n^k\mathrm{e}^{-n}. $$ Pero $$ g(0)=\lim_{n\to\infty} g\big(\tfrac{1}{n}\big)= \lim_{n\to\infty}n^k\mathrm{e}^{-n}=0, $$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto no hay tal $f$ existe.

2. Si tal $f$ existía, entonces el límite de $f(\frac{1}{n})$, como hubiera existido. Pero, la secuencia de $\sin (n\pi/2)$ claramente no tiene un límite.