¿Cómo probar la ley de DeMorgan?

Question

¿Cómo probar la Ley de DeMorgan?

$$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$$ $$A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$$

EDITAR :
Esto es lo que he probado hasta ahora:

Considerando la primera ecuación, suponiendo $x \in A - (B \cup C)$ entonces $x \in A$ y $x \not\in B$ y $x \not\in C$ mientras que la derecha significa ( $x \in A$ y $x \not\in B$ ) o ( $x \in A $ y $x \not\in C$ ) que es lo mismo que $x \in A$ y $x \not\in B$ y $x \not\in C$ . Así que los dos conjuntos son iguales.

Pero no sé si esto es suficiente para una prueba. ¿Me equivoco?

Answer 1

Yo lo "reduciría" a la lógica

$x\in A-(B\cup C) \iff x\in A \text{ and not } (x\in B \text{ or } x\in C)$

así por DeMorgan en la lógica (que se puede demostrar con la tabla de verdad)

$x\in A \text{ and } x\notin B \text{ and } x\notin C$

Así, $(x \in A \text{ and } x \notin B) \text{ and } (x \in A \text{ and } x \notin C)$ . Así,

$x\in (A- B)\cap (A- C)$

y viceversa.

Answer 2

Tal vez esté familiarizado con el hecho de que si $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$ entonces $A=B$ ?

Ya que está viendo $A,B,C$ como conjuntos, se puede demostrar esto mostrando el conjunto a la izquierda de $=$ es un subconjunto del conjunto a la derecha de $=$ y viceversa.

Por ejemplo, supongamos que $x\in A-(B\cup C)$ . Así que $x\in A$ pero $x\not\in B\cup C$ . En particular, $x\not\in B$ y $x\not\in C$ . De ello se desprende que $x\in A-B$ y $x\in A-C$ Es decir, $x\in (A-B)\cap (A-C)$ . Así, $A-(B\cup C)\subseteq (A-B)\cap (A-C)$ .

Intenta utilizar un método similar para mostrar la contención inversa, y obtendrás tu resultado. Esto funciona también para la segunda ley.

Answer 3

En palabras

http://www.youtube.com/watch?v=bED-wffoK_g4

Si necesitas una explicación y no tienes a nadie con quien discutir.