Demuestre que si todas las subsecuencias convergentes de una secuencia${s_n}$ convergen en 0 y${s_n}$ están limitadas, entonces${s_n}$ converge a$0$

Question

Problema: Demostrar que si todos convergente sub-secuencias de una secuencia ${s_n}$ convergen a $0$ ${s_n}$ es acotado, entonces ${s_n}$ converge a $0$.

Intento: estoy tratando de resolver este problema a través de la contra-positivo. Aquí está mi intento de tan lejos. Si $s_n$ diverge a infinito positivo o negativo, a continuación, ${s_n}$ es no acotada. Si $s_n$ converge a un valor distinto de cero número real, entonces cualquier sub-secuencia de $s_n$ converge en el mismo valor (que no es cero).

Ahora donde estoy atascado en el caso de las $s_n$ diverge. Cualquier sugerencias muy apreciado.

Edit: Esta parte de la pregunta importante es: "todos los convergente sub-secuencias de una secuencia ${s_n}$ convergen a $0$ ", esto no supone que todos los sub-secuencia es en realidad convergente.

También creo que el contrapositivo de esta declaración es que $s_n$ no converge a cero implica que existe una sub-secuencia de $s_n$ que no converge a $0$ o que $s_n$ es no acotado.

Answer 1

Si la secuencia$(s_n)_{n\geq1}$ no converge a$0$ entonces hay un$\epsilon_0>0$ tal que para cualquier$n\geq1$ hay un$k>n$ con$|s_k|\geq\epsilon_0$. Esto permite seleccionar una secuencia estrictamente creciente$l\mapsto k_l\in{\mathbb N}$ tal que$|s_{k_l}|\geq\epsilon_0$ para todos$l\geq1$, por lo tanto$\epsilon_0\leq|s_{k_l}|\leq C$ para todos$l\geq1$, donde$C$ es el se supone un límite general para el$|s_n|$. Según el teorema de Bolzano, la secuencia$\bigl(s_{k_l}\bigr)_{l\geq1}$ tiene una subsecuencia convergente. Su punto límite es necesariamente$\ne0$, al contrario de la suposición sobre la secuencia original$(s_n)_{n\geq0}$.

Answer 2

Sabemos que existe una subsecuencia convergente, digamos$s_{m_i}$, de modo que$0=\lim s_{m_i}=\lim sup s_n$, similar a la existencia de una subsecuencia convergente, digamos$s_{n_i}$, de modo que$0=\lim s_{n_i}=\lim inf s_n$
Sabiendo que$$inf s_n\leq s_n\leq sup s_n$$ we can use Squeeze lemma to show that $ \ lim s_n = 0 $

Answer 3

Sí, podemos probar por contrapositivo (o por contradicción? Siempre me confunden los dos). Tenemos que mostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=0$, lo que significa que $$\forall \varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N} \; \forall n\ge N \; \colon \; |s_n|<\varepsilon.$$ Suponga $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=0$ no es cierto, el de la negación de la definición dice que $$\exists \varepsilon>0 \; \forall N\in\mathbb{N} \; \exists n\ge N \; \colon \; |s_n|\ge\varepsilon.$$ Arreglar esto $\varepsilon$. Para cada una de las $N\in\mathbb{N}$, existe alguna $n=n_N\ge N$ tal que $|s_{n_N}|\ge\varepsilon$. Así que tenemos un infinito subconjunto $\{s_{n_1},s_{n_2},s_{n_3},\ldots\}$ de la secuencia. Desde la secuencia original es acotado, este subconjunto es demasiado limitada, y por lo tanto tiene un punto límite. Eso significa que hay una larga convergentes a ese punto límite. Pero dado que todos los elementos se apartó de $0$, hemos construido una larga que converge, pero no a $0$, contradiciendo la condición dada.