Suma parcial de números

Question

Mi TA dio hoy, esta cuestión como una buena pregunta para pensar. Él dijo que su implica estándar de las ideas de la teoría de la Probabilidad y los números. Pero, yo no sé ni cómo empezar.

Deje $x_1, \ldots, x_n$ ser no negativo números reales. Deje $X$ ser suma de $k, 1\leq k\leq n$ de ellos.

Deje $r_i, i=1, \ldots, n$ ser variables aleatorias de Bernoulli con probabilidad de $P(r_i=1)=p$$P(r_i=0)=1-p$.

1). Representar cualquier momento de la $X$ en términos de los momentos de $\sum\limits_{i=1}^nx_ir_i$, es decir, $E|X|^q$ en términos de$E\left|\sum\limits_{i=1}^nx_ir_i\right|^q$$q>1$.

2). Encontrar $p$.

Cualquier ayuda es muy apreciada. Yo realmente quería entender cómo resolverlo.

Answer 1

La clave para resolver esto deberían ser las siguientes observaciones.

1. La expectativa es lineal. La suma de la expectativa es la expectativa de la suma. [Tenga en cuenta que esto no es obviamente o necesariamente cierto cuando tiene una suma infinita.]
2. El Bernoulli$r_i$ está distribuido de forma idéntica. Esto significa que $\mathbb{E}[r_i] = \mathbb{E}[r_1].$
3. El$x_i$ son solo números. La expectativa de$x_i$ es solo$x_i$.

Creo que esto debería llevarte allí.