¿El teorema de reordenamiento de Riemann afecta la transformación de suma de Euler?

Question

Me preguntaba si la Riemann reordenamiento teorema tiene un efecto sobre la sumación de Euler de transformación, ya que, a la hora de aplicarlo a un condicionalmente convergente la serie, el reordenamiento de los términos puede afectar el valor para los cuales la serie converge.

Por otro lado, la suma de Euler se supone que, si convergente, ser igual a la serie original.

Así que... ¿o no afectar el valor converge también?

Answer 1

A Partir De [1,Teorema 2.26]:

Teorema. El método de la sumación de Euler $(E,q)$ ( $q>0$ ) es regular. Es decir, $\sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\to\infty]{} s$ implica $\sum_{k=0}^n a_k \xrightarrow[n\to\infty]{(E,q)} s$.

Tenga en cuenta que esto implica directamente la siguiente:

• Si la serie $\sum_n a_n$ es absolutamente convergente, entonces su Euleriano suma (cuando existe) será el mismo valor.

• Si la serie $\sum_n a_n$ es condicionalmente convergente, entonces su Euleriano suma (cuando existe) será el mismo valor.

y en particular:

• Fix $\ell\in[-\infty,\infty]$. Si la serie $\sum_n a_n$ es condicionalmente convergente, existe un reordenamiento $\sum_n a_{\sigma(n)}$ convergentes a $\ell$, por la definición de la integral de reordenamiento del teorema. A continuación, la Euleriano suma (cuando existe) de $\sum_n a_{\sigma(n)}$$\ell$.

No hay ninguna contradicción: si se aplica el método de la sumación de Euler para la condicionalmente convergente la serie de $(a_n)_n$, obtendrá el mismo límite en la Euleriano sentido. Si se aplica el método de la sumación de Euler para las (diferentes) condicionalmente convergente la serie de $(a_{\sigma(n)})_n$, obtendrá otro límite que antes en la Euleriano sentido, porque no están teniendo en cuenta de la misma serie que ya en el primer lugar.

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[1] Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994). Borel Métodos de Summability: Teoría y Aplicaciones. Oxford University Press. ISBN 0-19-853585-6