$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{5})...$

Question

Es allí cualquier valor conocido (O Aproximación) para esto?

$$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{5})...$$

sabemos que converge como $$\sum_{i=2}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i}=ln2-1$$

Así que hay un trivial límite superior $\frac{2}{e}$. Hay alguna mejor resultado? Además hay ningún resultado similar para

$$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{8})(1-\frac{1}{16})...$$ o $$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{8})(1+\frac{1}{16})...$$

Answer 1

SUGERENCIA:

Para la primera pregunta, $$\left(1+\dfrac1{2n+1}\right)\left(1-\dfrac1{2n+2}\right)=1$$

$$\prod_{r=1}^n\left(1-\dfrac1{2^r}\right)=\dfrac{\prod_{r=1}^n(2^r-1)}{2^{1+2+\cdots+n}}$$

Answer 2

$$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1+\frac{1}{7})... $$ Excepto el primer término, considerar consecutivos parejas de términos :

$(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})= (\frac{4}{3})(\frac{3}{4})= 1$

$(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})= (\frac{6}{5})(\frac{5}{6})= 1$

$(1+\frac{1}{7})(1-\frac{1}{8})= (\frac{8}{7})(\frac{7}{8})= 1$

Y así sucesivamente

Todas las parejas $=1$ . Así, sólo el primer término sigue : $(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$

Finalmente

$$(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{6})(1+\frac{1}{7})... = \frac{1}{2}$$