La agregación de las Métricas para Formar una Nueva Métrica

Question

Estoy buscando una fuente o sugerencias que me podría ayudar a resolver el siguiente problema:

Deje $S$ ser un conjunto y deje $d_i : S \times S \rightarrow [0,1]$ ser una familia de métricas para $i \in \{1, \ldots n\}$. Deje $f : [0,1]^n \rightarrow [0,1]$ ser una función. ¿Qué condiciones debe $f$ cumplir, de tal manera que la siguiente función es también una métrica? $$d: S \times S \rightarrow [0,1], \quad d(s,t) = f(d_1(s,t), \ldots, d_n(s,t))$$

Para ser una métrica $d$ debe cumplir las siguientes propiedades para todos los $s,t,u \in S$:

1. $d(s,t) = d(t,s)$ (simetría).
2. $d(s,t) = 0$ si y sólo si $s = t$ (definición)
3. $d(s,u) \leq d(s,t) + d(t,u)$ (desigualdad de triángulo)

La simetría se desprende directamente de la definición de la $d_i$. La definición es bastante fácil de lograr (por ejemplo, con $f(x_1, \ldots, x_n) = 0$ si y sólo si $x_i = 0$ todos los $i \in \{1, \ldots, n\}$). El mayor reto aquí es el triángulo de la desigualdad. Sólo tengo ideas vagas (por ejemplo, la continuidad o la monotonía de $f$) para esa condición. Alguna sugerencia?

EDIT: Como se ha mencionado por Aram, el problema se vuelve ligeramente más sencillo si todas las restricciones a $[0,1]$ son reemplazados con $[0, \infty]$.

Answer 1

Ahora usted tiene

1. $f$ inyective
2. $f(0) = 0$
3. $f$ es monótona creciente
4. $f$ continua

Pero estas condiciones no son suficientes, porque podría tener (en $[0,1]$ ), $f(x) = x^2$, $f(x) \leq f(x+y)$ pero usted puede probar que $f(x+y) \not\leq f(x)+f(y)$ para algunos valores.

Hasta ahora he encontrado esta condiciones suficientes:

$1)$

1. $f$ monótona creciente
2. $f$ es lineal
3. $f(1) = 1$.

O

$2)$

1. $f$ es subadditive (triángulo de la desigualdad).
2. $f$ es monótona creciente.
3. $f(1) = 1$.
4. $f(0) = 0$.
5. $f$ es inyective.

La comprobación de su distancia para $1)$. Porque no distinguir entre el $d(x,y)$ $d(y,x)$ que se ve es simétrica (De hecho ya ha señalado este). Ahora $$f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0)$$ That means $f(0) = 0$. Now triangly inequality follows because $$f(d(x,y)) \leq f(d(x,z) + d(z,y)) = f(d(x,z)) + f(d(z,y))$$

Si la distancia a la que estaban tratando de construir un estándar de la distancia de ($d: M \to \mathbb{R}_{\geq 0})$ puedes soltar $3$ de ambos.