Estoy estudiando la bifurcación y tenía un sistema como este: $$dx/dt=ux-y-x(x^2+y^2),$$ $$dy/dt=x+uy-y(x^2+y^2).$$ Quiero determinar si se produciría una bifurcación de Hopf. He escrito el sistema en coordenadas polares: $$dr/dt=ur-r^3,$$ $$d\theta/dt=1.$$ Así que tengo un ciclo límite inestable en $$r=\sqrt{u},$$ cuando u es positivo. ¿Puedo concluir entonces que se produce una bifurcación de Hopf? Ya que la espiral dentro y fuera del ciclo límite hacia diferentes direcciones? Pero entonces me confunde la pregunta "¿a qué valor de $u$ ¿se produce una bifurcación de Hopf? ¿Qué significa eso? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
yoknapatawpha
Puntos
3078
Escribo esto para añadir algunos detalles para quien pueda encontrarse con esto en el futuro.
En primer lugar me gustaría aclarar que tiene un estable ciclo límite (cuando aparece el ciclo límite). Para ver esto, establezca $r = \sqrt{u} + \epsilon$ y calcular $\dot{r}$ : Me parece que $\dot{r} < 0$ . Del mismo modo, el establecimiento de $r = \sqrt{u} - \epsilon$ da $\dot{r} > 0$ . Entonces el ciclo límite es atractivo. Esto nos ayudará a identificar la bifurcación que tiene lugar aquí.
Para ver por qué se produce una bifurcación de Hopf, consideremos los valores de $u < 0$ . Aquí vemos que $\dot{r} < 0$ por cada $r$ y por lo tanto $r \to 0$ como $t \to \infty$ para que el origen sea un equilibrio estable; porque $\dot{\theta} = 1$ Las trayectorias se mueven en espiral hacia el origen. Además, para $u > 0$ El origen es un equilibrio inestable y las trayectorias salen en espiral de él. Como se ha señalado anteriormente, aparece un ciclo límite en $r = \sqrt{\mu}$ y acabamos de decidir que este ciclo límite es estable.
Para "ver" cómo se produce la bifurcación de Hopf, considere el jacobiano del sistema (en coordenadas cartesianas) en el origen, \begin{equation} A = \left(\begin{array}{cr} u & -1 \\ 1 & u \end{array} \(derecha). \fin{ecuación} Los valores propios de $A$ son $\lambda = u \pm i$ . Vemos que como $u$ va de negativo a positivo, ambos valores propios cruzan el eje imaginario (que es la frontera de la estabilidad) de izquierda a derecha, lo que es el sello de una bifurcación de Hopf supercrítica. Una bifurcación de Hopf supercrítica se produce cuando un punto fijo estable se vuelve inestable y desprende un ciclo límite estable. La supercriticidad coincide con lo que hemos identificado anteriormente: un punto fijo estable se desprende de un ciclo límite estable y el punto fijo cambia su estabilidad.
