He estado tratando de entender la noción de seno complejo que se definió en mi libro. El libro empieza definiendo $ e^{z} $ como
$$ \text{If } z = x + iy, \text{ then } e^z = e^{x}\cos y + ie^x\sin y $$
A continuación, el libro afirma que para cualquier $ y \in \mathbb{R} $ :
$$ \begin{eqnarray} e^{iy} &=& \cos y + i \sin y\\ e^{-iy} &=& \cos y - i \sin y\\ \implies \sin \ y &=& \frac{1}{2i}(e^{iy} - e^{-iy}) \end{eqnarray} $$
Seguí hasta este punto, pero luego generalizaron esto para definir $\sin z \text{ for } z \in \mathbb{C} $ . Esta es la definición que dieron:
$$ \sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz} - e^{-iz}) $$
No entiendo el querer $ e^{iz} $ significa en esta ecuación. Si $ z = x + iy $ entonces $ e^{iz} = e^{-y + ix} = e^{-y}\cos x + ie^{-y}\sin x $ . ¿Es esto correcto, o significa otra cosa?
