Motivación:
A menudo, cuando se trata de fenómenos físicos, deben tenerse en cuenta las desviaciones del modelo, por lo que una variable, digamos $x\in[0,1]$ se sustituirá por una expansión en serie de potencias: $$x'\ \to \ x(1+k x^2 + \ldots), \quad |k|\ll1$$ Esto puede verse, por ejemplo, en las correcciones de distorsión de las lentes o en la ecuación de la fuerza aplicada por un muelle.
Un problema surge cuando queremos invertir esta ecuación - la inversa de la función cúbica $y = x(1+kx^2)$ es un lío, y añadir términos superiores hace imposible una solución analítica para la inversa.
He aquí la cuestión:
¿Existen no poder ¿expansiones en serie que conduzcan a una fórmula de inversión más sencilla? Específicamente, estoy buscando una secuencia de funciones no potentes $f_n(x)$ que cuando se da una serie finita como: $$y(x) = x\left(\sum_{i=0}^m a_i f_i(x)\right)$$ Entonces también deberíamos ser capaces de expandir la inversa de $y$ en un número finito de estas funciones $f_n$ : $$y^{-1}(x) = x\left(\sum_{i=0}^m b_i f_i(x)\right)$$
Entonces, ¿tales $f_n$ ¿Existen? Estoy buscando no trivial $f_n$ , preferiblemente que pueda utilizarse para aproximar una amplia variedad de funciones suaves.
