Autovalores de a $2 \times 2$ bloque de la matriz, donde cada bloque es una matriz de identidad

Question

Quiero considere la siguiente matriz:

\begin{bmatrix}\boldsymbol{I}_n & \boldsymbol{I}_n \\\boldsymbol{I}_n & \boldsymbol{I}_n\end{bmatrix}

Haciendo varios ejemplos numéricos, me di cuenta de que esta matriz ha $n$ autovalores iguales a cero y $n$ autovalores igual a $2$. Hay alguna forma de probar esto para un número arbitrario $n$?

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta que$A^2=2A$$\mbox{dim}(\mbox{Ker}(A))=n$.

Answer 2

Sugerencia: Escribir como $$( {\bf 1}_2 {{\bf 1}_2}^T )\otimes {\bf I}_n$$, a Continuación, utilizar los resultados de cómo Kronecker productos hereda su factor de autovalores.

Answer 3

Supongamos $\operatorname{char}{F}\neq 2$. Deje $(e_i)_{i=1}^n$ ser una base de $F^n$. Asimismo, todos son vectores propios de a $I_n$ con autovalor $1$ (dado que todos los elementos de a$F^n$). A continuación, $((e_i, \pm e_i))_{i=1}^n$ son una base de $F^n \oplus F^n$, y todos los vectores propios de a $A$: $$ \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ I_n & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_i \\ \pm e_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_n e_i \pm I_n e_i \\ I_n e_i \pm I_n e_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \pm 1)e_i \\ (1 \pm 1) e_i \end{pmatrix} = \begin{cases} 2(e_i,e_i) & + \\ (0,0) & - \end{cases}, $$ por lo $(e_i,e_i)$ es un autovector de a $A$ con autovalor $2$, e $(e_i,-e_i)$ uno con autovalor $0$.

Answer 4

Dada la estructura de la matriz $$ A = \begin{bmatrix} I_n & I_n\\ I_n & I_n \end{bmatrix} $$ usted puede simplemente calcular el determinante de $$ A - \lambda I_{2n} = \begin{bmatrix} (1-\lambda)I_n & I_n\\ I_n & (1-\lambda)I_n \end{bmatrix}. $$ Si $\lambda = 1$, las columnas de a $A - I_{2n}$ son los vectores de la base canónica en $\mathbb{R}^{2n}$, en cuyo caso su determinante debe ser distinto de cero. Ahora considere el caso de $\lambda \neq 1$. Fila de la reducción de la $A - \lambda I_{2n}$ obtenemos la matriz diagonal $$ \begin{bmatrix} (1-\lambda)I_n & I_n\\ 0 & \lambda(\lambda - 2)/(1-\lambda)I_n \end{bmatrix} $$ cuyo determinante es $\lambda(2-\lambda)$. Por lo tanto, los autovalores de a$A$$0$$2$. A ver que cada subespacio propio tiene dimensión $n$, se observa que el $A$ $n$ columnas linealmente independientes y, por tanto,$\dim(\ker(A)) = n$.

Answer 5

Hacer fila operaciones: $$\begin{vmatrix}I_n&I_n\\I_n&I_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}I_n& I_n\\0&0\end{vmatrix}=0.$$