En la prueba de que la variación total de una firma de medida es en sí mismo un (positivo) de la medida

Question

Dado, firmado de medida $\nu$$(X,\mathcal{M})$, definir

Aquí está la primera mitad de la prueba en Stein y Shakarchi del Análisis Real:

Pregunta:

Alguien podría elaborar la última frase de la prueba anterior? ¿Por qué la desigualdad es inmediata, tomando el supremum?

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En Rudin del Real y Complejo Análisis, argumento similar se da. Pero no entiendo por qué es tan rápida. Me parece que a pesar de que uno debería en su lugar vamos a $$ a_j=|\nu|(E_j)-\frac{\varepsilon}{2^j} $$ que daría el resultado deseado tomando la suma y el uso de la última desigualdad en la prueba.

Answer 1

He aquí una posible interpretación que se me ocurren.

Supongamos que uno quiere demostrar que para dos cantidades $A$ $B$ $$ A\leq B. $$ Una muestra que para cualquier $t<A$, uno ha $t\leq B$. Este es el mismo como

para cualquier $\epsilon>0$, $A-\epsilon\leq B$.

Es decir, $B$ es un límite superior para el conjunto de $$\{A-\epsilon\mid \epsilon>0\}.$$ tomando el supremum en el conjunto, uno llega a la conclusión de que $A\leq B$.

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De forma alternativa (y más directamente), ya que $B$ es el límite superior para el conjunto de $ \{t\in\mathbb{R}\mid t<\}, $ y el supremum de este conjunto es de $A$, se puede concluir que $$ A\leq B. $$