Diferenciar la expresión que implica el recíproco de las raíces cuadradas.

Question

Necesito diferenciar $$5\over 2+\sqrt{1+3x}$$

Puedo obtener la respuesta de Wolfram Alpha pero estoy tratando de entender el funcionamiento. ¿Utilizo la regla de la cadena? Mi cálculo está en el nivel básico.

Answer 1

Reescribe la función como $$f(x) = 5(2+\sqrt{1+3x})^{-1}$$ ahora aplica la regla de la cadena y la potencia para obtener $$f'(x) = 5\cdot -1 \cdot (2+\sqrt{1+3x})^{-2} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (2+\sqrt{1+3x})$$

Esto da como resultado $$f'(x) = -\frac{5}{(2+\sqrt{1+3x})^2} \cdot \frac{3}{2\sqrt{1+3x}}$$

Se puede reescribir esto como $$f'(x) = -\frac{15}{2\sqrt{1+3x}\cdot \left(2+\sqrt{1+3x}\right)^2}$$

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Esto es sólo una aplicación del hecho de que $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(y^a) = a y^{a-1} \cdot y'$$

Answer 2

Sí, se puede utilizar la regla de la cadena, pero no es necesario. $$(f(g(x))^\prime=g^\prime(x)f^\prime(g(x)) \tag{1}$$ si $$f(x)=\dfrac{5}{2+x} ‎\longrightarrow‎f^\prime(x)=\dfrac{-5}{(2+x)^{2}}\tag{2.1}$$ $$g(x)=\sqrt {1+3x}‎\longrightarrow‎g^\prime(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{1+3x}}\tag{2.2}$$ Desde $(1),(2.1) $ y $(2.2)$ : $$(f(g(x))^\prime=\dfrac{3}{2\sqrt{1+3x}}\cdot\dfrac{-5}{(2+\sqrt{1+3x})^{2}}$$ Y de esta manera obtener la respuesta.

Answer 3

Basta con utilizar la regla del cociente:

$\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g-g'f}{g^2}$ . En este caso, se establece $f = 5$ y $g = 2+\sqrt{1+3x}$ . De ahí que..:

$f'g = 0$

$g'f =\frac{15}{2\sqrt{1+3x}}$

$g^2 = (2+\sqrt{1+3x})^2 $

Combinando todo lo anterior obtenemos :

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$$\frac{d}{dx}\frac{f}{g} = \frac{f'g-g'f}{g^2} = -\frac{15}{2\sqrt{1+3x}\cdot \left(2+\sqrt{1+3x}\right)^2}$$

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Answer 4

La regla de la cadena es la siguiente:

Si definimos $h(x) = (f \circ g)(x)$ : $$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Hay varias formas de calcular la derivada de esta expresión. Una forma es usar la regla del cociente, sin embargo, como el numerador es sólo un número, ésta no parece ser la mejor opción. Una buena forma de calcular dicha derivada es reescribirla como

$$5(2+\sqrt{1+3x})^{-1}$$

Ahora utilicemos la regla de la cadena (nótese que podemos "ignorar" el 5 por ahora y volver a multiplicarlo más tarde porque es sólo un número.

$$h'(x) = 5(-(2+\sqrt{1+3x}))^{-2} \cdot (2+\sqrt{1+3x})'$$ $$ = -5(2+\sqrt{1+3x})^{-2} \cdot (2+\sqrt{1+3x})'$$

Ahora debemos tomar la derivada de $2+\sqrt{1+3x}$ .

$$(2+\sqrt{1+3x})'$$ $$ = (2+{(1+3x)}^{1/2})$$ $$=\frac{1}{2}(1+3x)^{-1/2} \cdot 3$$ $$=\frac{3}{2 \sqrt{1+3x}}$$

El 3 proviene de la derivada de $1+3x$ . Volviendo a $h'(x)$ y subiendo los valores que conocemos:

$$h'(x) = -5(2+\sqrt{1+3x}))^{-2} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{1+3x}}$$ $$=-\frac{15}{(2+\sqrt{1+3x})^{2} \cdot (2 \sqrt{1+3x})}$$ $$ = \boxed{-\frac{15}{2 \sqrt{1+3x}\cdot (2+\sqrt{1+3x})^{2}}}$$

Answer 5

Utilice $$ (y^a)'=ay^{a-1} y' $$ para $a=-1$ y luego para $a=1/2$ .