¿Dónde está $f(x+iy)=x^3+y^3$ ¿complejo diferenciable?

Question

$ Let f(z) = (Re(z))^3 + (Im(z))^3$

(a) ¿En qué puntos (si hay alguno) es f diferenciable? Encuentra la expresión de f' en esos puntos.

(b) Haz un dibujo del subconjunto de C formado por los puntos en los que f es diferenciable. Por lo tanto, decida en qué puntos (si hay alguno) f es analítica.

Respuesta:

$ f(z) = x^3 + y^3 $

(a) Utilizando las ecuaciones de Cauchy Riemann encontré que f sólo es diferenciable en (0,0). Y f' es 0 en ese punto.

(b) f no es analítica en ninguna parte ya que no es diferenciable en un $\epsilon$ de la vecindad de z.

¿Es eso correcto?

Answer 1

Que (a) sea correcta podría depender de cómo se razone. En general, una función puede satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en un punto sin ser diferenciable en ese punto, pero no a la inversa. Es decir, la diferenciabilidad en un punto implica que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en ese punto, por lo que basta con utilizar la RC para demostrar que $f$ no es diferenciable a partir de $(0,0)$ . Pero no es suficiente para demostrar que $f$ es diferenciable en $(0,0)$ . Para ello, un buen método es calcular explícitamente la derivada utilizando la definición, $f'(0)=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x+iy)-f(0)}{x+iy}$ que es $0$ como usted indicó.

Aparte de este detalle, lo que has dicho suena bien.