En la Wikipedia está escrito que delimitadas normal operador en el espacio de Hilbert tiene el mismo rango y el núcleo como su adjunto. He sido capaz de demostrar la igualdad de los núcleos y los cierres de rangos: $\|Af\|=\|A^*f\|$, por lo que los núcleos deben ser iguales. Además del núcleo de un operador es igual al complemento ortogonal de sus adjuntos para aquellos que también deben ser iguales. Tomando ortogonal complementa obtenemos la igualdad de los cierres de los rangos. Sin embargo entiendo que los rangos no necesita ser cerrado (pero tal vez en este caso son? No he sido capaz de demostrar que a pesar de que) para la igualdad de rangos no siga. Agradecería sugerencias. Yo también estoy interesado acerca de las generalizaciones unbounded caso.
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Debido a $A$ es normal, a continuación, $\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(A^{\star})$ es invariante bajo$A$$A^{\star}$, como es su complemento ortogonal $$ \overline{\mathcal{R}(A)}=\mathcal{N}(A)^{\perp}=\mathcal{N}(A^{\star})^{\perp}=\overline{\mathcal{R}(A^{\star})}. $$ Que le permite reducir al caso en que $\mathcal{N}(A)=\{0\}$, y donde los rangos de $A$ $A^{\star}$ son densos en $H$.
Así que, asumiendo $A$ es normal con $\mathcal{N}(A)=\mathcal{N}(A^{\star})=\{0\}$, el mapa de $U=A^{\star}A^{-1} : \mathcal{R}(A)\rightarrow\mathcal{R}(A^{\star})$ es lineal e isométrica, lo que significa que $\|Ux\|=\|x\|$ todos los $x\in\mathcal{R}(A)$. Por lo $U$ se extiende únicamente por la continuidad de un mapa isométrico $U : H\rightarrow H$. De hecho, esta extensión es unitaria porque $\mathcal{R}(U) =\mathcal{R}(A^{\star})$ es denso en $H$. Por lo tanto, $UA=A^{\star}$, lo que da $A^{\star}U^{\star}=A$ mediante la aplicación de los adjuntos. Debido a $U$ es unitaria, $A^{\star}=AU$. Las identidades $A^{\star}U^{\star}=A$ $A^{\star}=AU$ juntos implican $\mathcal{R}(A)=\mathcal{R}(A^{\star})$.
