desigualdad integral con máximo y derivado

Question

Permita que$[a,b]$ sea un intervalo cerrado finito en$\mathbb{R}$,$f$ sea una función continua de diferencia en$[a,b]$. Demuestre que$$\max_{x\in [a,b]} |f(x)|\le \Bigg|\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx\Bigg|+\int_a^b |f'(x)|dx$ $

Creo que esto es similar al teorema de integración de Sobolev, pero no tengo idea de cómo usarlo. También intenté transformar la desigualdad en$$(b-a)\int_a^b (|f(t)|-|f'(x)|)dx\le \Bigg|\int_a^b f(x)dx\Bigg|,$$ where $ f (t) $, que es el máximo, pero aún no sé cómo proceder. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Hay un punto$c\in (a,b)$ tal que

ps

Dejar $$f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$. Ya que

ps

entonces

ps

Ahora termina la discusión.

Answer 2

aunque Kobe ha explicado bien. Ya había empezado a escribir la respuesta. Entonces, usando la desigualdad triangular tenemos$|f(c)| \leq |f(\xi)|+|f(c) - f(\xi)|$. Por el teorema fundamental del cálculo$f(c) - f(\xi) = \int_{\xi}^cf'(x)dx$. Tomando valores absolutos tenemos$$|f(c) - f(\xi)| = \int_{\xi}^cf'(x)dx \leq \int_{\xi}^c|f'(x)|dx \leq \int_a^b |f'(x)|dx \hspace{2mm} (A)$ $. Usando el teorema del valor medio también tenemos$$ f(\xi) = \frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$$ therefore $$ |f(\xi)| \leq \frac{\int_a^b|f(x)|dx}{b-a} \hspace{3mm}(B)$ $ Por lo tanto, por (A) y (B) tenemos el resultado.