Abundence de curvas suaves en una variedad normal?

Question

Si $X$ es normal en la variedad, y $p \in X$, es cierto que hay una curva de $C \subset X$ $p \in C$ un punto suave (en C)?

Es obviamente falso si la normalidad es abandonado - tome $X$ a ser un singular de la curva. No tengo ninguna razón específica más allá de esto, para solicitar a la normalidad, aunque los ejemplos que me estoy familiarizado con pasar esta prueba. Tengo un poco de duda de que esto podría ser verdad, así que estoy pidiendo un ejemplo contrario.

(El vago de la motivación es que estoy pensando en la valuative criterio para separatedness recientemente, y que le gustaría conocer la intuición de que no hay curvas de $C$ con el doble de puntos en un separado esquema - yo.e con dos centros para la misma valoración en $C$. Y me gusta Dvr, aunque supongo que uno puede simplemente tomar una curva arbitraria pasando por el punto y tomar su normalización para obtener una discreta valoración sobre las curvas de la función de campo con algunos prescrito centro. Todavía estoy curioso acerca de la geometría de la pregunta de todos modos.)

El otro lado de esta pregunta:

Hay un (normal) variedad $X$, con una singularidad tan "malo" que todas las curvas que pasan por ese punto de adquirir esa singularidad?

Answer 1

He aquí un ejemplo para mostrar la respuesta a la primera pregunta es "no".

Deje $S$ ser una superficie que es factorial, pero no suave. Estas singularidades existen, pero son muy especiales --- véase la respuesta de Victor Protsak a este MO pregunta para algunos detalles. Por definición de "factorial", cada divisor de Weil, en particular, en cada curva, en $S$ es un divisor de Cartier.

Ahora, es un hecho general de que el si $X$ es una variedad con un singular punto de $p$, e $D$ eficaz divisor de Cartier en $X$ pasando a través de$p$, $D$ también es singular en $p$. La prueba es fácil: tomar un afín conjunto abierto que contiene a $p$ que $D$ que es lo principal, definido por algunos regulares de la función $f$ decir. A continuación, la matriz Jacobiana para el ideal de la definición de $D$ se obtiene a partir de la matriz para el ideal de la definición de $X$ mediante la adición de una fila, por lo que su rango es más que uno más.

Así que vamos a $p$ ser un punto singular de $S$. Por factoriality, cualquier curva de $C$ $S$ es un divisor de Cartier, así que si $C$ es una curva que pasa a través de $p$, $C$ debe ser singular en $p$.

Tenga en cuenta que este ejemplo funciona no se porque la singularidad es especialmente "malo", sino más bien todo lo contrario --- factorial de la superficie de las singularidades son leves. Por el contrario la superficie ordinario doble punto de $xy=z^2$ no es factorial, pero aquí hay curvas suaves que pasa a través de la singularidad. El punto es precisamente que estas curvas suaves son divisores de Weil que no se Cartier.