Solucionar $\lfloor \frac{2x-1}{3} \rfloor + \lfloor \frac{4x+1}{6} \rfloor=5x-4$

Question

Me encontré con este problema y no parece tan complicado, pero no lo hice.

Resolver la ecuación $$\lfloor {\frac{2x-1}{3}}\rfloor + \lfloor {\frac{4x+1}{6}}\rfloor=5x-4.$$

Mis pensamientos hasta el momento:

Tratando de utilizar la desigualdad de $k-1 < \lfloor k\rfloor \leq k$

$5x-4$ es un entero, por lo $x=\frac{a}{5},$ donde $a$ es de$\mathbb Z,$, a continuación, reemplazar en la ecuación original, para obtener $$\lfloor \frac{4a-10}{30}\rfloor + \lfloor \frac{4a+5}{30}\rfloor =a-4$$ Deje $k= \frac{4a-10}{30}$ por lo $\lfloor k\rfloor +\lfloor k+\frac{1}{2}\rfloor =a-4$

pero $\lfloor k\rfloor =\lfloor k+\frac{1}{2}\rfloor $ o $\lfloor k\rfloor +1=\lfloor k+\frac{1}{2}\rfloor $, por lo que tenemos 2 casos

Yo firmemente creo que un menor existe una solución, le agradecería una sugerencia!

Answer 1

$$\lfloor{\frac{2x-1}{3}}\rfloor + \lfloor{\frac{4x+1}{6}}\rfloor=5x-4.$$

Como ha sido mencionado; $5x-4$ debe ser un número entero, por lo $x=\frac{a}{5},$ donde $a$ es de $\mathbb Z,$ a continuación, reemplazar en la ecuación original, para obtener $$\lfloor\frac{4a-10}{30}\rfloor + \lfloor\frac{4a+5}{30}\rfloor=a-4.$$

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Aviso que por el algoritmo de Euclides
existen enteros $n,t \in \mathbb{Z}$; tal que $a=15n+t$,$0 \leq t \leq 14$,
sustituyendo tenemos que:

$$ \lfloor\frac{60n+4t-10}{30}] + \lfloor\frac{60n+4t+5}{30}]=15n+t-4 \Longrightarrow \\ 2n+\lfloor\frac{4t-10}{30}] + 2n+\lfloor\frac{4t+5}{30}]=15n+t-4 \Longrightarrow \\ \lfloor\frac{4t-10}{30}] + \lfloor\frac{4t+5}{30}] -t +4 =11n \ ; \ \ \ \ \ \color{Blue}{\estrella} $$

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pero aviso que $0 \leq t \leq 14$; implica las siguientes desigualdades:

$$ -10 \leq 4t-10 \leq 46 \ \ %%\text{y} ; \ \ \ 5 \leq 4t+5 \leq 61 \ \ %%\text{y} ; \ \ \ -10 \leq -t+4 \leq 4 \ \ \Longrightarrow \\ \color{Red}{-1} \leq \lfloor\frac{4t-10}{30}\rfloor \leq \color{Red}{1} \ \ %%\text{y} ; \ \ \ \color{Red}{0} \leq \lfloor\frac{4t+5}{30}\rfloor \leq \color{Red}{2} \ \ %%\text{y} ; \ \ \ -10 \leq -t+4 \leq 4 \ \ \Longrightarrow \\ -1+0-10 \leq \lfloor\frac{4t-10}{30}\rfloor + \lfloor\frac{4t+ 5}{30}\rfloor -t +4 \leq 1 + 2 + 4 \ \ \color{Verde}{\estrella} ; \desbordado{\color{Blue}{\estrella}}{\Longrightarrow} \\ -11 \leq 11n \leq 7; $$

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así que sólo tenemos dos opciones para $n$ ;

• $n=-1$, se tiene: $$ -1+0-10 = -11 = \lfloor\frac{4t-10}{30}\rfloor + \lfloor\frac{4t+ 5}{30}\rfloor -t +4 ; $$ lo que implica que: $$ 4t-10 < 0 \ \ ; \ \ \ 4t +5 < 30 \ \ ; \ \ \ -t+4 = -10 ; $$ así que no hay posibilidades de $t$ en este caso.

• $n=0$, se tiene: $$ 0 = \lfloor\frac{4t-10}{30}\rfloor + \lfloor\frac{4t+ 5}{30}\rfloor -t +4 ; $$ lo que implica que: $$ -3=-(\color{Red}{1+2}) \leq -t+4 \leq -(\color{Red}{-1+0})=1 ; $$ así que las únicas posibilidades para $t$ es: $t=3, 4, 5, 6, 7$.
  Ahora se puede comprobar que sólo $\color{Green}{t=4}$ da una respuesta.

Answer 2

Deje $\lfloor{\frac{2x-1}{3}}\rfloor + \lfloor{\frac{4x+1}{6}}\rfloor=n$ donde $n\in\mathbb Z$.

Por lo tanto, $5x-4=n$, lo que da $x=\frac{n+4}{5}$.

Por lo tanto, $$\lfloor{\frac{2n+13}{15}}\rfloor + \lfloor{\frac{4x+21}{30}}\rfloor=n,\tag{1}$$ lo que da $$n\leq\frac{2n+13}{15}+ \frac{4x+21}{30}<n+2,\tag{2}$$ que da $0\leq n\leq2$.

Ahora, para $n=0$ obtenemos $x=\frac{4}{5}$ y una sustitución en la ecuación original da $1=1$,

el que dice que $1$ es la raíz.

$n=1$ da $0=1$, $n=2$ da $0=2$,

el que dice que la respuesta es $$\left\{\frac{4}{5}\right\}.$$

Answer 3

La gráfica de la función $g(x) = \lfloor\frac{2x-1}{3}\rfloor + \lfloor\frac{4x+1}{6}\rfloor - (5x-4)$

Una vez que conocemos $0 < x < 1$,$\lfloor\frac{2x-1}{3} \rfloor = 0$$\lfloor \frac{4x+1}{6} \rfloor = 0$. Por lo tanto $x = \frac{4}{5}$ es la única solución.

Answer 4

El uso de $\lfloor x \rfloor + \lfloor x + 1/2 \rfloor = \lfloor 2x \rfloor$ identidad . Así $$\lfloor \frac{4a-10}{15} \rfloor = a-4 $$ Try $a = 0 , 1,2,3, \dots$ The only solution is $ = 4$ .