Unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones

Question

Mientras estudiaba mecánica cuántica, me encontré con el siguiente problema algebraico: Sabemos que si $l$ es un número entero no negativo: $$2l+1 = \sum_{-l}^l{c_m(-1)^m}$$ $$2l+1 = \sum_{-l}^l{\vert c_m\vert^2}$$ Dónde $c_m$ son coeficientes, que pueden ser complejos. Evidentemente, $$c_m = (-1)^m$$ Es una solución de este sistema de ecuaciones. Sin embargo, no estoy seguro de cómo puedo ver si esta es la única solución. Esto es necesario para demostrar el teorema de la adición de los armónicos esféricos.

Answer 1

Utilice el Desigualdad de Cauchy-Schwarz : $$\sum_{m=-l}^l c_m(-1)^m \leq \sqrt{\textstyle\sum_{m=-l}^l \lvert c_m \rvert^2 \sum_{m=-l}^l 1} = 2l + 1.$$ Como los dos lados son de hecho iguales, el vector $(c_m)_{m=-l}^l$ debe ser un múltiplo escalar del vector $((-1)^m)_{m=-l}^l$ . Denotemos este factor escalar por $a$ . Entonces $\sum_{m=-l}^l c_m(-1)^m = \sum_{m=-l}^l a = (2l+1)a \implies a=1$ .