La geodesia en una 2ª esfera

Question

He estado haciendo algunos trabajos en los que necesito encontrar la geodesia en un determinado Colector de Riemann. Tomemos el ejemplo de las dos esferas, por simplicidad, con radio unitario. La distancia entre dos puntos, digamos: $p$ y $q$ está dada por la longitud de la geodesia que conecta esos dos puntos, de tal manera que: $$d= \int_0 ^1 [ \dot { \theta }^2+ \sin ^2( \theta ) \dot { \phi }^2]^{1/2}dt,$$ donde $c(t)=( \theta (t), \phi (t))$ es la geodésica que conecta los dos puntos considerados (es decir. $c(0)=p$ y $c(1)=q$ ).

Para encontrar la expresión de la geodésica se utiliza el Principio Variacional, que conduce a las ecuaciones de Euler-Lagrange para $ \theta $ y $ \phi $ . Para simplificar nuestro trabajo se puede, en lugar de buscar la curva que minimiza la distancia, buscar la curva que minimiza la Energía funcional y se puede probar que si la curva es geodésica, entonces la curva que minimiza la energía es la misma que la curva que minimiza la distancia (prueba en el enlace anterior).

Usando lo que he dicho para buscar la geodesia en la 2ª esfera encontramos dos ecuaciones diferenciales que admiten como soluciones los grandes círculos o los meridianos.

Ahora a la(s) pregunta(s) real(es):

Si en lugar de parametrizar la geodésica con el parámetro $t$ uno lo parametriza con la coordenada $ \theta $ (sabiendo que ya no se pueden describir las geodésicas que conectan dos puntos con la misma $ \theta $ coordenadas), de manera que $c( \theta )=( \theta , \phi ( \theta ))$ y $ \dot {c}=(1, \dot { \phi })$ ¿la curva que minimiza la distancia es la misma que minimiza la energía?

Si la respuesta es sí, uno encuentra eso: $ \phi ( \theta )= \frac { \phi_2 }{ \cot ( \theta_2 )} \cot ( \theta )$ asumiendo que las coordenadas del primer punto son $( \pi /2,0)$ y $( \theta_2 , \phi_2 )$ para el segundo punto. Pero eso lleva a un comportamiento extraño para los puntos cercanos a los polos y $ \phi_2 > \pi $ ... (ver foto)

¿Qué estoy haciendo mal? Es la respuesta a la primera pregunta, el sistema de coordenadas o algo más profundo...

Answer 1

Creo que el error que está cometiendo es confundir un camino y su imagen.

Para ser más claro, veamos la prueba de que un minimizador de la energía es geodésico. Dejemos que $ \gamma : [a,b] \longrightarrow S $ ser un camino suave

$$ \int {|| \gamma '||} \leq (b-a)^2 \int {|| \gamma ||^2} $$ y la igualdad se mantiene iff $|| \gamma '||$ es una función constante. Podemos suponer $b-a=1$ para tener $L( \gamma ) \leq E( \gamma )$ sin pérdida de generalidad. Desde que se hizo una reparametrización de $ \gamma $ no cambia el valor de la longitud (ejercicio), toma un minimizador de la longitud $ \gamma $ y dejar $ \tilde { \gamma }$ su reparametrización a velocidad constante $L( \gamma )$

$$L( \gamma ) = L( \tilde { \gamma }) \leq E( \gamma ) $$

desde $ \gamma $ minimiza $L( \tilde { \gamma }) = E ( \tilde { \gamma }) \geq E( \gamma )$

entonces $L( \gamma ) = E( \tilde { \gamma })$ y esto prueba que un minimizador de la longitud es un minimizador de la energía si y sólo si se parametriza a velocidad constante! Especialmente la energía no es invariable por la reparametrización

Pero la parametrización por $ \theta $ no está a una velocidad constante, y creo que ahí es donde te equivocas