Deje $I$ ser un no-finitely generado ideal para que todos los ideales correctamente contengan $I$ son finitely generado. Si $I$ no es un alojamiento ideal, podemos encontrar $a,b\not\in I$$ab\in I$. Deje $I'=I+(a)$ y deje $I''=\{x\in R| xI'\subset I\}=\{x\in R|xa\in I\}$. Entonces, desde el $b\in I''$ ambos $I',I''$ son finitely generado. Podemos elegir un conjunto de generadores para $I'$ de la forma $\{z_1,\ldots,z_n,a\}$ todos $z_i\in I$. También podemos elegir un conjunto de generadores $\{u_1,\ldots,u_m\}$$I''$. Entonces, puedo reclamar $I$ es generado por $\{z_1,\ldots,z_n, u_1a,\ldots,u_ma\}$, con lo cual contradice nuestra suposición sobre la $I$. Observe que todos estos elementos pertenecen a $I$, lo suficiente para demostrar que el elemento en $I$ se puede escribir como una combinación lineal de estos. Deje $v\in I$. Entonces, desde el $v\in I'$, podemos escribir $v=\sum r_iz_i+sa$ donde $r_i, s\in R$. Esto dice $sa\in I$ y, a continuación,$s\in I''$, por definición, de $I''$. Así, podemos escribir $s=\sum p_iu_i$, $p_i\in R$ y por lo tanto, $v=\sum r_iz_i+\sum p_i(u_ia)$, lo que demuestra lo que se reivindica.
