Cuña del producto y de la cruz de producto - alguna diferencia?

Question

Estoy tomando un curso de geometría diferencial, y he aquí se han introducido a la cuña de producto de vectores definidos (en Geometría Diferencial de Curvas y Superficies por Manfredo Perdigão do Carmo) por:

Vamos $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ en $\mathbb{R}^3$. $\mathbf{u}\wedge\mathbf{v}$ en $\mathbb{R}^3$ es el único vector que satisface:

$(\mathbf{u}\wedge\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} = \det\;(\mathbf{u}\;\mathbf{v}\;\mathbf{w})$ todos los $\mathbf{w}$ $\mathbb{R}^3$

Y para aclarar, $(\mathbf{u}\;\mathbf{v}\;\mathbf{w})$ es el 3×3 de la matriz con $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ como sus columnas, en ese orden.

Mi pregunta: ¿hay alguna diferencia entre este y de los regulares de la cruz o producto vectorial el producto de dos vectores, siempre y cuando nos mantengamos en $\mathbb{R}^3$? Y si no hay diferencia, entonces, ¿por qué introducir la cuña?

Saludos!

Answer 1

Yo habría dejado esto como un comentario, pero parece que no puedo comentar aún.

Para responder a su pregunta final, ¿por qué introducir la cuña, el punto es que la cuña del producto (como se explica en el artículo de la Wikipedia) es un concepto que generaliza a R^n y, de hecho, cualquier vector del espacio---en general el resultado es lo que se llama un "bivector". Ahora, lo que pasa es que en R^3 no es un natural de la identificación entre bivectors y vectores, y el vector que corresponde a la (bivector) cuña de producto es el producto cruzado, pero esto no funciona en otros espacios vectoriales.

Así, en resumen, la noción de producto cruzado es específica para R^3, mientras que la cuña producto tiene sentido en cualquier espacio vectorial.

Answer 2

Sí, esta definición es elegido por una razón, como la única solución a un problema pedagógico.

Do Carmo la definición es torpe y redundante en 3 dimensiones, pero es el único entre las definiciones usuales de la cruz de producto que cuando se generalizó a $n$ dimensiones (hay una cruz de producto de $n-1$ vectores en $R^n$) es riguroso, visiblemente base independiente, y produce un vector en el mismo espacio --- todo sin necesidad de una larga digresión sobre álgebra multilineal, la dualidad, y otras sofisticadas teoría. Considerar las otras definiciones:

1. La regla de la mano derecha hace el trabajo en $n$ dimensiones, y es coordinar independiente, pero es difícil de describir sin una fórmula que la mano es la "correcta", y verificar que el resultado es multilineal puede ser difícil si no se tiene una confiable formalismo de $n$-dimensiones de la geometría Euclidiana. Dudo que la mayoría de los estudiantes podría considerar este enfoque riguroso, incluso si, en principio, se puede hacer así.

2. El exterior de álgebra se basa en la teoría no se sabe por todos los públicos de la Do Carmo del libro (e.g, ingenieros). No produce un vector en $R^n$ sin aún más la teoría.

3. La definición como un factor determinante de los vectores de coordenadas puede ser confuso, con los vectores y escalares mezclados como entradas de una matriz. También es geométricamente significativa sólo cuando se pruebe independiente de la elección de la (ortonormales) la base de las coordenadas. En 3 dimensiones a esto se le conoce por la equivalencia con la regla de la mano derecha y a través de dibujos, técnicas que requieren de un largo desarrollo a realizar en $n$ dimensiones.

Answer 3

Ninguna diferencia en absoluto.

He estado tratando de escribir un poco de prueba, pero el software en esta página, parece haber olvidado cómo escribir matemáticas. :-(

De todos modos: supongo que por "regular cruz/vector producto" se entiende la definición de coordenadas como en la Wikipedia.

Trate de calcular ambos lados de la ecuación $(u\wedge v ) \cdot w = \det (u, v, w)$ con su definición de las coordenadas de la cruz / productos de vectores.

Desde esta ecuación define un único vector, sólo tiene una solución, una vez que haya revisado su definición con las coordenadas de lo comprueba, lo que significa que su definición con las coordenadas de acuerdo con el presente.

EDIT. Se me olvidaba. Las bondades de esta "nueva" definición es que se trata de "coordinar". Entonces, ¿qué? -Puedo oír a alguien susurrando al final de la clase.

Así pues, si usted se ha preguntado alguna vez si tu "ex" definición podría ser afectado en caso de que cambie el (positivo ortonormales) la base en la que usted está escribiendo sus vectores, la respuesta, claro que sí, es "no".

Answer 4

Hay una diferencia. Tanto los productos que se tome dos vectores en $\mathbb{R}^3$. El producto cruz da un vector de la misma $\mathbb{R}^3$ y la cuña de producto le da un vector en otro $\mathbb{R}^3$. Los dos de salida espacios vectoriales de hecho son isomorfos, y si usted elige un isomorfismo puede identificar a los dos productos. Sin embargo, este isomorfismo es una opción, o para decirlo de otra manera depende de la fijación de un convenio.

En las dimensiones superiores de la cuña producto le da un vector en un espacio vectorial de dimensión superior, de manera que no es posible identificar.