Alguien puede explicar con un ejemplo concreto de cómo puedo comprobar si un mecánico-cuántica del operador es limitado o ilimitado?
EDIT: Por ejemplo., Me gustaría comprobar si $\hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ es acotado o no.
Alguien puede explicar con un ejemplo concreto de cómo puedo comprobar si un mecánico-cuántica del operador es limitado o ilimitado?
EDIT: Por ejemplo., Me gustaría comprobar si $\hat p=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ es acotado o no.
Un operador lineal $A: D(A) \to {\cal H}$ $D(A) \subset {\cal H}$ un subespacio y ${\cal H}$ un espacio de Hilbert (una normativa espacio podría ser suficiente), se dice que es acotadosi: $$\sup_{\psi \in D(A)\:, ||\psi|| \neq 0} \frac{||A\psi||}{||\psi||} < +\infty\:.$$ En este caso, el lado izquierdo está indicado por $||A||$ y es la norma de $A$.
Observe que, por lo tanto, acotamiento, no se hace referencia al conjunto de valores de $A\psi$, que es siempre ilimitada si $A\neq 0$ $||A\lambda\psi|| = |\lambda|\: ||A\psi||$ $\psi \in D(A)$ $\lambda$ puede ser elegido arbitrariamente grande, siendo la satisfacción de $\lambda \psi \in D(A)$ desde $D(A)$ es un subespacio.
Es posible demostrar que $A: D(A) \to {\cal H}$ es acotado si y sólo si, para cada $\psi_0 \in D(A)$: $$\lim_{\psi \to \psi_0} A\psi = A \psi_0\:.$$
Otro resultado notable es que un auto-adjunto del operador es acotado si y sólo si su dominio es todo el espacio de Hilbert.
Con respecto a $A= \frac{d}{dx}$, en primer lugar, se debe definir su dominio para discutir el acotamiento. Un dominio importante es el espacio ${\cal S}(\mathbb R)$ de Schwartz funciones, ya que, si $-id/dx$ se define al respecto, resulta Hermitian y admite sólo un uno mismo-adjoint extensión que no es nada, pero el impulso del operador.
$d/dx$ ${\cal S}(\mathbb R)$ es ilimitado. El camino más corto para probar que es pasar a la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier es unitario, por lo que se transforma (onu)delimitada operadores en (onu)delimitada operadores. ${\cal S}(\mathbb R)$ es invariante bajo la transformada de Fourier, y $d/dx$ es transformado para el operador multiplicativo $ik$ I en adelante denotaremos por $\hat A$. Así que se termina con el estudio de acotamiento del operador:
$$(\hat A \hat{\psi})(k) = ik \hat{\psi}(k)\:,\quad \hat\psi \in {\cal S}(\mathbb R)\:. $$
Fix $\hat\psi_0 \in {\cal S}(\mathbb R)$ $||\hat\psi_0||=1$ suponiendo que $\hat\psi_{0}$ se desvanece fuera de $[0,1]$ (siempre existe tal función como $C_0^\infty(\mathbb R) \subset {\cal S}(\mathbb R)$ y no es una función del espacio de la primera apoyado en cada conjunto compacto en $\mathbb R$), y considerar la clase de funciones
$$\hat\psi_n(k):= \hat \psi_{0}(k- n)$$
Obviamente, $\hat\psi_n \in {\cal S}(\mathbb R)$ y el de traslación de la invariancia de la integral implica $||\hat\psi_n||=||\hat\psi_0||=1$. Siguiente, observe que:
$$\frac{||\hat A\hat\psi_n||^2}{||\hat\psi_n||^2} = \int_{[n, n+1]} |x|^2 |\hat\psi_{0}(k-n)|^2 dk \geq \int_{[n, n+1]} n^2 |\hat\psi_{0}(k-n)|^2 dk$$
$$ =
n^2 \int_{[0,1]} |\hat\psi_{0}(k)|^2 dk = n^2\:.$$
Llegamos a la conclusión de que:
$$\sup_{\hat{\psi} \in {\cal S}(\mathbb R)\:, ||\hat{\psi}||\neq 0} \frac{||\hat A\hat\psi||}{||\hat\psi||} \geq n \quad \forall n\in \mathbb N $$
Por lo $\hat A$ es ilimitado y $A$ es en consecuencia.
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