Encuentre el rango de $f(x) =(x-1)^{1/2} + 2\cdot(3-x)^{1/2}$

Question

Cómo sacar el rango de la siguiente función :

$$f(x) =(x-1)^{1/2} + 2\cdot(3-x)^{1/2}$$

Soy nuevo en las funciones, por lo que no he podido encontrar una solución.

Answer 1

Sin Cálculo no sé realmente cómo de manera eficiente para encontrar el gama de la función. (ver edición más abajo)

En cuanto a la "ingenuidad", se puede encontrar el máximo por Cauchy-Schwarz $$(\sqrt{x-1}+2\sqrt{3-x})^2\le (1^2+2^2)(x-1+3-x)=10,$$ obtenido (sólo) en $x$ tal que $4(x-1)=3-x$ es decir, $x=\frac75$ . Y el mínimo $$(\sqrt{x-1}+2\sqrt{3-x})^2\ge (x-1)+4(3-x)\ge11-3x\ge 2,$$ obtenido (sólo) en $x=3$ .

Sin embargo, se necesita la Teorema del valor intermedio para garantizar que $f(x)$ siendo continua en $[1,3]$ alcanza todos los valores en $[\sqrt{2},\sqrt{10}]$ .

Editar : Por supuesto, uno puede esforzarse un poco más y recuperar el rango usando la continuidad de la función cuadrada como sigue.

Dejemos que $t=\sqrt{3-x}$ entonces $0\le t\le \sqrt 2$ . Queremos demostrar que para cualquier $a\in[\sqrt 2,\sqrt{10}]$ la siguiente ecuación tiene solución en $[0,\sqrt{2}]$ $$a=2t+\sqrt{2-t^2}.$$ Equivalentemente $$\begin{aligned}a-2t&=\sqrt{2-t^2}\\ (a-2t)^2&=2-t^2\\ 5t^2-4at+(a^2-2)&=0. \end{aligned} $$ El discriminante es $$4a^2-5(a^2-2)=10-a^2\ge 0$$ lo que demuestra que la última ecuación tiene solución.

Es fácil ver que ambas soluciones son no negativas ya que ambas $4a$ y $a^2-2$ son. Queda por demostrar que al menos una solución es $\le \sqrt{2}$ . Es fácil y se deja como ejercicio (pista: $\color{white}{\text{what is their product}}$ ).

Answer 2

Como $1\le x\le 3\iff-1\le x-2\le1$ que se ajusta a la gama de funciones sinusoidales,

dejar $x-2=\cos2\theta$

Así que, $f(x)=\sqrt{2\cos^2\theta}+2\sqrt{2\sin^2\theta}=\sqrt2(|\cos\theta|+\sqrt2|\sin\theta|)$

Caso $\#1:$

Si $\displaystyle0\le\theta\le\dfrac\pi2,$ $\displaystyle f(x)=\sqrt2[\cos\theta+ 2\sin\theta]=\sqrt2\sqrt5\cos\left(\theta-\arctan2\right)$

Como $\displaystyle0\le\theta\le\dfrac\pi2,0-\arctan2\le\theta-\arctan2\le\dfrac\pi2-\arctan2$

Caso $\#1A:$

Para $\displaystyle-\arctan2\le\theta-\arctan2\le0,$

como $\cos(x)$ es una función creciente en $\left[-\dfrac\pi2,0\right];$
$\displaystyle\cos\left(-\arctan2\right)\le\cos\left(\theta-\arctan2\right)\le\cos0$

es decir, $\displaystyle\frac1{\sqrt5}\le\cos\left(\theta-\arctan2\right)\le1 \implies\sqrt{10}\frac1{\sqrt5}\le f(x)\le\sqrt{10}$

Así que, $f(x)$ alcanzará su máximo cuando $\displaystyle\theta-\arctan2=0$ $\displaystyle\implies\cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac35\implies x=2+\left(-\frac35\right)$

De la misma manera, $f(x)$ alcanzará su valor mínimo, es decir, $\displaystyle\sqrt{10}\cdot\frac1{\sqrt5}=\sqrt2$ cuando $\displaystyle\theta-\arctan2=-\arctan2\iff\theta=0\implies x=2+\cos(2\cdot0)=3$

Caso $\#1B:$

Para $\displaystyle0\le\theta-\arctan2\le\dfrac\pi2-\arctan2,$

como $\cos(x)$ es una función decreciente en $\left[0,\dfrac\pi2\right];$
$\displaystyle\cos0\ge\cos\left(\theta-\arctan2\right)\ge\cos\left(\dfrac\pi2-\arctan2\right)$

es decir, $\displaystyle1\ge\cos\left(\theta-\arctan2\right)\ge\sin\left(\arctan2\right)=\frac2{\sqrt5}$

$\displaystyle\implies\sqrt{10}\ge f(x)\ge\sqrt{10}\frac2{\sqrt5}=2\sqrt2$ que es mayor que el mínimo anterior $\sqrt2$

Te dejo para que te ocupes

Caso $\displaystyle\#2:\frac\pi2<\theta\le\pi$

Caso $\displaystyle\#3:\pi<\theta\le\frac{3\pi}2$

Caso $\displaystyle\#4:\frac{3\pi}2<\theta\le2\pi$

para demostrar que $\sqrt2\le f(x)\le\sqrt{10}$

Answer 3

Su función $$f(x) =\sqrt{x-1} + 2\sqrt{3-x}$$ se define para todos los $x \in [1, 3]$ , de lo contrario la raíz cuadrada no está definida para un número real.

Podemos comprobar lo que ocurre en el borde del segmento $[1, 3]$ :

1. $f(1) = 2\sqrt{2}$ ;
2. $f(3) = \sqrt{2}$ .

Además, podemos encontrar los máximos y mínimos locales de $x$ en el segmento $[1, 3]$ . Para obtenerlas, evaluemos la primera derivada de $f(x)$ :

$$\frac{\text{d} f(x)}{\text{d} x} = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{\sqrt{3-x}}$$

y encontrar los valores de $x$ tal que $\frac{\text{d} f(x)}{\text{d} x} = 0$ . Así:

$$-\frac{1}{2\sqrt{x-1}} + \frac{1}{\sqrt{3-x}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt{x-1}=\sqrt{3-x}.$$

Dado que ambos $x-1$ y $3-x$ son no negativos en el segmento $[1, 3]$ podemos elevar al poder de $2$ ambos miembros sin problemas particulares:

$$4(x-1)=3-x \Rightarrow 4x+x = 3 + 4 \Rightarrow x = \frac{7}{5} \in [1, 3].$$

$x = \frac{7}{5}$ es un máximo o un mínimo local y $f\left(\frac{7}{5}\right) = \sqrt{10}.$

Resumiendo:

1. Al principio del segmento $[1, 3]$ la función asume el valor $2\sqrt{2}$ ;
2. al final, los valores son $2\sqrt{2}$ ;
3. en algún lugar dentro del segmento (es decir, cuando $x = \frac{7}{5}$ ) la función tiene valor $\sqrt{10}$ .

Ahora está claro que el valor mínimo de $f(x)$ en $[1,3]$ es $\sqrt{2}$ mientras que el máximo es $\sqrt{10}$ .

Podemos concluir que el rango de $f(x)$ es $[\sqrt{2}, \sqrt{10}]$ .

Answer 4

Dejemos que $y = f(x)$ sea una función con dominio $D$ .

Dejemos que $\left[a,b\right] \le D$ entonces el extrema global son los valores extremos (mayor y menor) en $\left[a,b\right]$ . Hay dos extremos globales; mínimos globales (valor mínimo) y máximos globales (valor más alto)

Conceptualmente hablando, $$f'(x) = 0\iff f(x) \text{ `makes a turning`}\iff f(x) \text{ is an extrema}$$

Dejemos que $c_1,\space c_2,\space \dots, c_n$ sean los puntos en los que $f'(x) = 0$ (es decir, los puntos extremos)

Entonces,

$$\text{Global Minima }(m) = \min\{f(a), f(c_1),\dots, f(c_n), f(b)\}\\ \text{Global Maxima }(M) = \max\{f(a), f(c_1),\dots, f(c_n), f(b)\}$$

Entonces, el rango de $f(x)$ en $\left[a,b\right]$ es simplemente el intervalo $(m,M)$

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Dado :: $f(x) = \sqrt{x-1} + 2\sqrt{3-x}$

Desde $\sqrt{n}$ sólo es una función real cuando $n\ge 0$ , entonces en $f(x)$ , $$x-1\ge 0 \quad \&\quad 3-x \ge 0\\ \Rightarrow 1 \le x \le 3\\ \Rightarrow x \in \left[1,3\right]$$

Ahora, para comprobar los extremos, $$\frac{d}{dx} f(x) = f'(x) = 0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x-1}} - \frac{1}{\sqrt{3-x}} = 0\\ \Rightarrow \frac1{2\sqrt{x-1}} = \frac1{\sqrt{3-x}}\\ \Rightarrow 4(x-1) = 3-x \\ \Rightarrow x = \frac{7}{5} = 1.4 \in \left[1,3\right] $$

Los sospechosos: $$ f\left(\frac{7}{5}\right) = \sqrt{\frac{7 - 5}{5}} + 2\sqrt{\frac{15-7}{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}} + 4\sqrt\frac{2}{5} = \sqrt5\cdot\sqrt2 =\sqrt{10} \approx 3.1622\\ f(1) = 0 + 2\sqrt{3-1} = 2\sqrt{2} \approx 2.8284\\ f(3) = \sqrt{3-1} + 0 = \sqrt{2}\approx 1.4142 $$

Claramente, $f\left(\frac{7}{5}\right) > f(1) > f(3)$

$\therefore $ La Máxima global es $\sqrt{10}$ y el mínimo global es $\sqrt{2}$

$$\boxed{\text{Range}(f) = \left[ \sqrt{2}, \sqrt{10} \right]}$$

Answer 5

Veamos la gráfica de esta función:

Antes de encontrar el rango, es útil encontrar primero el dominio. En el gráfico está bastante claro que se define a partir de $x = 1$ a $x = 3$ o el intervalo $[1,3]$ . Para estar seguros, se puede determinar algebraicamente encontrando donde se definen ambas raíces cuadradas; es decir, resolviendo $x - 1 \geq 0$ y $3 - x \geq 0$ y tomando el intervalo en el que ambos son verdaderos.

El rango es el intervalo de valores de y que toma la función. Normalmente se determina mediante el cálculo, pero nosotros vamos a tener que utilizar diferentes métodos para determinarlo. En concreto, encontraremos las coordenadas x de los puntos más altos y más bajos de la función (también conocidos como extrema global ) de la gráfica, y luego los introduciremos en la función para obtener los valores de y.

Observando el gráfico, podemos ver que el punto más bajo del gráfico está en el extremo superior del dominio en $x = 3$ . Introduciéndolo en la función, obtenemos:
$$y_{min} = \sqrt{3 - 1} + 2\sqrt{3 - 3} \implies y_{min} = \sqrt{2}$$

En cuanto al punto más alto, no podemos saber exactamente la coordenada x en la gráfica, pero podemos aproximar su valor. Vemos que la función se estabiliza alrededor de $x = 1.4$ Así que tomamos este valor y lo introducimos en la función:
$$y_{max} = \sqrt{1.4 - 1} + 2\sqrt{3 - 1.4} \implies y_{max} = \sqrt{0.4} + 2\sqrt{1.6} = \sqrt{10}$$
Así que el rango es el intervalo $[\sqrt{2}, \sqrt{10}]$ .

Es importante señalar que en este caso hemos dado con el valor x exacto para el valor superior, ya que tenemos a mano un gráfico generado por ordenador, pero no siempre será así, e incluso entonces sigue siendo difícil adivinar el valor exacto. Digamos que fue en $x = 1.4001$ en lugar de $x = 1.4$ Entonces nunca habríamos podido diferenciar entre los dos valores. El mejor enfoque es utilizar el cálculo y encontrar y probar los puntos críticos, como @Nick hizo un buen trabajo explicando. Esto es sólo una forma de aproximar el rango.