Evaluar $\int_{0}^{\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}$

Question

¿Cómo se puede evaluar $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}$?

Mi intento:

$$\int_{0}^{\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}$$

Para encontrar la singularidad, voy a resolver: $ (2+\cos\theta)^2 = 0 $ y por lo tanto, $\cos\theta = -2$.

Sustituyendo: $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \frac{z + \frac{1}{z}}{2}$, Me parece que $z = -2 + \sqrt{3} $ es el punto singular que se encuentra en el círculo unidad $|z| = 1$.

A partir de este punto, tengo poca idea de cómo ir sobre la solución de este problema. Sé que tengo que encontrar el residuo y, a continuación, sólo suma a ellos, sino a obtener la expresión que anularía el polo es donde actualmente estoy atascado.

Answer 1

Voy a empezar desde el punto en que la dejaste. La integral puede escribirse como, el momento de la sustitución de $z=e^{i \theta}$:

$$\begin{align}\frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \frac{d\theta}{(2+\cos{\theta})^2} &= -i 2 \oint_{|z|=1} dz \frac{z}{(z^2+4 z+1)^2}\\ &= -i 2 \oint_{|z|=1} dz \frac{z}{(z+2-\sqrt{3})^2 (z+2+\sqrt{3})^2}\end{align}$$

después de un poco de álgebra. Esta integral es $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos dentro de la integración de contorno. El único polo dentro de este contorno, como usted señala, es el polo en $z=-2+\sqrt{3}$. El otro polo en $z=-2-\sqrt{3}$ está fuera de este contorno y no se cuenta.

Para calcular el residuo en este polo, tenga en cuenta que tenemos el doble de raíces. Para tales raíces, tenemos que tomar un derivado de:

$$\mathrm{Res}_{z=-2+\sqrt{3}} \frac{-i 2 z}{(z+2-\sqrt{3})^2 (z+2+\sqrt{3})^2} = \lim_{z \rightarrow -2+\sqrt{3}} \left [\frac{d}{dz} \frac{-i 2 z}{(z+2+\sqrt{3})^2} \right ]$$

Voy a dejar el álgebra para el lector; el resultado es $-i \sqrt{3}/9$. La integral es entonces

$$\int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(2+\cos{\theta})^2} = i 2 \pi \frac{-i \sqrt{3}}{9} = \frac{2 \sqrt{3}}{9} \pi$$

Answer 2

Trigonométricas sustitución:

$$x=\tan\frac{\theta}{2}\Longrightarrow d\theta=\frac{2}{x^2+1}dx\;\;,\;\;\cos\theta=\frac{1-x^2}{1+x^2}\Longrightarrow$$

$$\int\limits_0^\pi\frac{d\theta}{(2+\cos\theta)^2}=\int\limits_0^\infty\frac{2\,dx}{1+x^2}\frac{1}{\left(2+\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)^2}=2\int\limits_0^\infty\frac{x^2+1}{(x^2+3)^2}dx=$$

$$2\int\limits_0^\infty\left(\frac{1}{3+x^2}-\frac{2}{(3+x^2)^2}\right)=\left.\frac{2}{\sqrt 3}\arctan\frac{x}{\sqrt 3}\right|_0^\infty-\left.4\left(\frac{x}{6(3+x^2)}+\frac{1}{6\sqrt 3}\arctan\frac{x}{\sqrt 3}\right)\right|_0^\infty=$$

$$=\frac{4}{3\sqrt 3}\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3\sqrt 3}$$

Answer 3

Hay un medio ángulo de la tangente a la sustitución que hace a este trabajo. Usted puede encontrar en un lof de edad Calc libros. Mira este.