Considere la posibilidad de que $\mathbb{R}$ es un grupo bajo la suma y la $\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $\mathbb{R}$. Mostrar que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong U$ donde $U=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$
Considere la función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$$f(x)=e^{2\pi xi}$. Desde $\mathbb{R}$ es un aditivo grupo, entonces la identidad aditiva $0\in \mathbb{R}$, lo $f(0)=e^{2\pi 0i}=e^0=1\in \mathbb{C}$ que muestran el $f(x)$ no es un trivial de la función. Deje $a,b\in \mathbb{R}$,$f(a)=e^{2\pi ai}$$f(b)=e^{2\pi bi}$, lo $f(a+b)=e^{2\pi (a+b)i}=e^{2\pi (ai+bi)}=e^{2\pi ai}e^{2\pi bi}=f(a)f(b)$. Por lo tanto, $f(x)$ es un homomorphism. Debido a $\mathbb{R}$ es un aditivo grupo,$\ker(f(x))=\{0\}$, por la primera isomorfo teorema, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong U$.
Es ese derecho? No estoy seguro si el argumento para el kernel es el adecuado? ¿alguien puede mostrarme o me dan un golpe a escribir un mejor prueba? Gracias.
