Encuentra los sumandos directos de $\mathbb Z/ 36\mathbb Z$

Question

Tengo este ejercicio:

Encuentra los sumandos directos de la $\mathbb Z$ -Módulo $M = \mathbb Z/36 \mathbb Z$ .

Si $\bar T$ y $\bar N$ son sumandos directos de $M$ entonces $\bar T \cap \bar N = \{\bar 0\} = \{36 \mathbb Z\}$ (1). Y $\bar T = T/36 \mathbb Z$ y $\bar N = N/36\mathbb Z$ , donde $T$ y $N$ son $\mathbb Z$ -módulos de $\mathbb Z$ por lo que son ideales de $\mathbb Z$ Así que son $T = a\mathbb Z$ y $N = b\mathbb Z$ y $a,b \in \mathbb Z$ son divisores de $36$ .

La condición (1) implica que para cualquier $x \in \mathbb Z$ tal que $a|x$ y $b|x$ tenemos $36 |x$ . ¿Qué significa esto? y ¿cómo proceder?

Estoy atascado y necesito ayuda. Gracias.

Answer 1

Siguiendo con su notación, dejemos que $T = a \mathbb {Z}$ , $N = b \mathbb {Z}$ , $\bar {T} = T/36 \mathbb Z$ y $\bar{ N} = N/36\mathbb Z$ , donde $a,b \in \mathbb Z$ son divisores de $36$ .

La igualdad $\bar {T} + \bar{N} = \mathbb{Z} / 36 \mathbb {Z}$ implica que para todo $d \in \mathbb {Z} $ existe $x, y \in \mathbb {Z}$ tal que $ ax + by + 36 \mathbb {Z} = d + 36 \mathbb {Z}$ . Por la identidad de Bezout $a$ y $b $ son coprimos.

Pero como ha señalado, para cualquier $n \in \mathbb Z$ tal que $a|n$ y $b|n$ tenemos $36 |n$ . Así que la unión de los divisores de a y b es igual a los divisores de $36$ .

Por lo tanto, $a=4$ y $b=9$ .